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Aufgabe:

Sei \( V \) ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum. Seien \( \varphi \) und \( \psi \) zwei Endomorphismen von \( V \) mit der Eigenschaft

\( \psi \circ \varphi=\varphi \circ \psi \)

Beweisen Sie:

(a) Jeder Eigenraum \( U \) von \( \varphi \) ist \( \psi \)-invariant, d.h. \( \psi(U) \subseteq U \)

(b) Sind beide Endomorphismen \( \varphi \) und \( \psi \) unitär, dann besitzt der Vektorraum \( V \) eine Basis, die aus Vektoren besteht, die gleichzeitig Eigenvektoren von \( \varphi \) und \( \psi \) sind.

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