Eigenwert, Eigenraum U, Endomorphismen. Zeigen, dass U^{b} ⊆ U

Question

Sei auch \( \beta \in \operatorname{End}(V) \) und es gelte \( \alpha * \beta=\beta * \alpha \). Weiter sei \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( \alpha \) und \( U:=\operatorname{Eig}_{V}(\alpha, \lambda) \). Zeigen Sie, dass \( U^{\beta} \subseteq U \) ist!

K ist ein Körper, V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum und Alpha ein Endomorphismus.

Answer 1

Ich nehme mal an, dass * hier die Verkettung ist ( sonst meist o ) und U^ß ist das Bild von U unter ß

sonst meist  ß(U)  genannt.

Dann ist es so:

Sei v ∈ U^ß .  Dann gibt es u ∈ U mit α(u) = v.

Dann ist v =  α(u) = λu , weil U = Eig_V(α,λ)

Nun ist   1.     ß(v) =   ß (α(u))

= ß(λu)  = λ ß(u)  weil ß ∈ End(V)

= λv

außerdem ist  2.  ß(v) =   ß (α(u)) =  α(ß(u))   nach Vor

                                   = α(v)


Also zeigen 1.   und  2.     α(v) =  λ v

und das heißt    v  ist ein Eigenvektor von α zum Eigenwert λ,

also v ∈ U