Eigenraum wird zum Eigenwert k = -1?

Question

Aufgabe:

B = \( \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 2 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix} \)

Die Matrix B hat den Eigenwert k = - 1 (das darfst du ungeprüft annehmen!). Berechne den zum Eigenwert K >= - 1 gehörigen Eigenraum ER_1 (B).

Problem/Ansatz:

Erstmal von der Diagonale den Eigenwert abgezogen

B = \( \begin{pmatrix} 2 - (-1) & -3 & 3 \\ 2 & -3 - (-1) & 2 \\ 4 & -4 & 3 - (-1) \end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 2 & - 2& 2 \\ 4 & -4 & 4\end{pmatrix} \)

So, dann LGS aufgstellt und Nullzeilen erzeugt, kommt man auf:

B = \( \begin{pmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \), Rang der Matrix ist also 1.

Wow, juhuu, wupidu, ganz großes Tennis. -.-

Was jetzt? Ich habe gelesen, dass man an der Stelle jetzt die Anzahl der Variablen (3) vom Rang der Matrix (1) abziehen muss, also 3 - 1 = 2, und das einem sagt, wie viel neue Variablen man jetzt einfügen muss. Aber was soll das bringen, nochmal zusätzliche Variablen einzufügen? Wie geht man jetzt vor, um den Eigenraum zu bestimmen?

Answer 1

Bezeichne einen der gesuchen Eigenvektoren mit \(v=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}^\top\). Dein LGS bedeutet \(x-y+z=0\), also \(z= y-x\). Es ist also$$v=\begin{pmatrix}x\\y\\y-x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.$$

Comments

Wie kommt man auf x - y + z = 0. Ich dachte, wir reden hier über die 1. Zeile der Matrix. Muss es dann nicht

3x - 3y + (3y - 3x) heißen.

Oder teilen wir vorher die gesamte Matrix durch 3.

Und wie kommst auf die neuen Vektoren x und y?

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x und y sind keine Vektoren, sondern reelle Zahlen. Die erste Zeile deiner letzten Matrix besagt 3x - 3y + 3z = 0, oder nach z aufgelöst z = y - x. Der gesuchte Eigenraum lautet demnach \(\operatorname{span}\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\rbrace\).

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Das z = y - x ist versteh ich sogar, aber wieso denn (1,0,-1), (0,1,1)

Z.B. der erste Vektor (1,0,-1):  y ist doch nicht 0. y ist doch z-x.

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3 x - 3y + 3 z = 0

=> 3x = 3y - 3z

durch 3 teilen

x = y - z

y = z - x

z = y - x

=> \( \begin{pmatrix} y-z\\z-x\\y-x \end{pmatrix} \)

Wieso dann 1,0,-1 und 0,1,1?