Differentialoperator, Nullstelle Eigenraum

Question

Text erkannt:

Sei \( \phi \) der Differentialoperator auf \( K[X] \), d.h.
$$ \phi\left(\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} i a_{i} X^{i-1} $$
(a) Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von \( \phi \) ist.
(b) Bestimmen Sie für \( K=\mathbb{R} \) den zugehörigen Eigenraum.
(c) Finden Sie für \( p \in \mathbb{P} \) ein Polynom \( 0 \neq f \in \mathbb{F}_{p}[X] \operatorname{mit} f(\phi)=0 \). Warum gibt es ein solches Polynom nicht für \( K=\mathbb{R} ? \)
(d) Bestimmen Sie für \( K=\mathbb{F}_{p} \) den Eigenraum zum Eigenwert 0 .

Comments

Hallo,

ich verstehe Aufgabe c) nicht: Was soll \(f(\phi)\) bedeuten?

Gruß Mathhilf

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hallo

ich denke es ist ein Druckfehler und muss φ(f)=0 sein.

Gruß lul

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ich denke es ist ein Druckfehler und muss φ(f)=0 sein.

Nein. Das sieht man auch wenn man den zweiten Teil der Aufgabe betrachtet. Schließlich gibt es sogar überabzählbar viele reelle Polynome mit Ableitung 0.

ich verstehe Aufgabe c) nicht: Was soll \(f(\phi)\) bedeuten?

Man setzt den Endomorphismus einfach in das Polynom ein. Dann kommt wieder ein Endomorphismus raus. Jetzt soll man ein Polynom finden, s.d. die Nullabbildung rauskommt.

Z.b. p=2 wähle \(f=X^2\), es ist \(f(\phi)=\phi\circ \phi = 0\) wie man schnell durch nachrrechnen verifiziert.

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@ MatHaeMatician:

Danke, das macht's klar.

Gruß Mathhilf