sei \( U \) ein beliebiger Untervektorraum des \( K^n \) der Dimension \( \dim(U) = r \leq n \). Es bilden \( u_1, \dots, u_r \) eine Basis von \( U \), die durch \( u_{r+1}, \dots, u_n \) zu einer Basis des \( K^n \) ergänzt seien.
Es ist zunächst \( A u_i = \sum_{j=1}^{n} A_{i,j} u_j \). Wegen \( AU \subset U \) ist \( A u_i = \sum_{j=1}^{r} A_{i,j} u_j \) für \( i = 1, \dots, r \), insbesondere ist \( A_{i, j} = 0 \) für \( i = 1, \dots, r \) und \( j = r+1, \dots, n \).
Wählt man zu jedem \( r \in \{1, \dots, n\} \) den von \( u_1, \dots, u_r \) erzeugten Untervektorraum, so folgert man treffend, dass \( A_{i, j} = 0 \) für alle \( i, j \) mit \( i > j \) gilt.
Wählt man nun andererseits zu jedem \( r \in \{1, \dots, n\} \) den von \( u_{r}, \dots, u_n \) erzeugten Untervektorraum, so erhält man entsprechend über \( A u_i = \sum_{j=r}^{n} A_{i,j} u_j \), dass \( A_{i, j} = 0 \) für alle \( i, j \) mit \( i < j \) gilt.
Somit ist insgesamt \( A_{i, j} \neq 0 \) nur dann, wenn \( i = j \) gilt. Die Matrix \( A \), die jeden Unterraum invariant lässt, hat also Diagonalgestalt.
Es ist nun weiter \( A u_i = A_{i, i} u_i \) und \( A u_j = A_{j, j} u_j \) mit \( i \neq j \). Vertauscht man nun die Basisvektoren \( u_i \) und \( u_j \), so bemerkt man \( A u_j = A_{i, i} u_j \) (sowie \( A u_i = A_{j, j} u_i \)) und es lässt sich \( A_{i, i} = A_{j, j} \) für alle \( i, j \) folgern. Somit ist \( A \) eine Skalarmatrix.
Mister
PS: Der Lösungsansatz ist aus http://www.math.uni-konstanz.de/~kuhlmann/Lehre/SS16-LinAlg2/Scripts/15-LinAlg2-160607.pdf.
