$$\text{ Sei } V = V_3(\mathbb C) \text{ und } \underline B = (e_1,e_2,e_3) \text{ die Standardbasis von V. Seien } A= \begin{pmatrix}1 & i & 0\\-i & 3 & i\\0 & -i & 1\end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 2 & -2i & -i\\0 & 0 & -1\\0 & 0 & 2i\end{pmatrix} \text{ gegeben. }$$
$$\text{Sei} <.,.>_A: V_n(\mathbb C) \times V_n(\mathbb C) \rightarrow \mathbb C \text{ für } v,v \in V_n(\mathbb C) \text{ durch} <v,w>_A:=v^tA\bar w \text{ und sei } l_B \text{ die durch B beschriebene lineare Abbildung } V \rightarrow V:=Bv.$$
$$(a) \text{ Zeigen Sie, dass }<.,.>_A \text{ eine positiv definite, hermitesche Form auf V ist (also ein Skalarprodukt)}$$
$$(b) \text{ Zeigen Sie, dass } l_B \in End(V) \text{ ein normaler Endomorphismus für} (V,<.,.>_A), \text{ aber nicht für V mit dem Standardskalarprodukt ist.}$$
$$c) \text{ Finden Sie die Eigenwerte und Eigenräume von} l_B \text{ und begründen Sie, dass die Eigenräume bezüglich} <.,.>_A \text{ paarweise orthogonal sind.}$$
$$d) \text{ Ist }l_B \text{ unitär oder selbstadjungiert für } (V,<.,.>_A)?$$
Grundsätzlich weiß ich, wie man positive Definitheit überprüft, allerdings haben wir das noch nie mit einem expliziten Beispiel (Also hier jetzt A) gemacht... EIgenwerte und Eigenräume kann ich eigentlich berechnen, allerdings verwirrt mich die Matrix B...
