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Aufgabe:

Sei \( A =  \begin{pmatrix} -12 & 34 & 26 \\ -51 & 104 & 151 \\ 30 & -58 & -92 \end{pmatrix} \).

Zu zeigen:

Der Endomorphismus \( \alpha: \mathbb{Q^3} \rightarrow \mathbb{Q^3}, (x, y, z) \mapsto (x, y, z)A \) ist nilpotent.


Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass \( \alpha \) nilpotent ist, kann zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden und geprüft, ob es von der Form \( x^n \) ist. Leider wird meine Rechnung sehr schnell unübersichtlich (Zahlen in der Größenordnung 10^6), sowohl mit Sarrus, als auch Laplace, gibt es hier einen Trick?

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Warum nicht einfach potenzieren?$$\begin{aligned}A^3&=\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}\\&=162\cdot\begin{pmatrix}-5&10&15\\-1&2&3\\-1&2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

Uff, ich hab bei meiner ersten Rechnung beim Potenzieren wohl einen kleinen Fehler gemacht und den Ansatz danach nicht mehr versucht... Vielen Dank :)


Ein Zusatz zu der Aufgabe besteht darin, eine Basis B zu bestimmen, bzgl welcher die Koordinatenmatrix von \( \alpha \) Jordansche Normalform hat. Dafür muss ich aber das charakteristische bzw das Minimalpolynom berechnen, oder?

Wenn die Matrix nilpotent ist, dann sind alle Eigenwerte gleich Null.

Danke!

Dann muss ich ja nur noch die geometrische Vielfachheit zu \( \lambda = 0 \) bestimmen, um die JNF aufzustellen. (algebraische VFH ist 3, da A 3x3-Matrix)

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