Nilpotenz eines Endomorphismus zeigen

Question

Aufgabe:

Sei \( A =  \begin{pmatrix} -12 & 34 & 26 \\ -51 & 104 & 151 \\ 30 & -58 & -92 \end{pmatrix} \).

Zu zeigen:

Der Endomorphismus \( \alpha: \mathbb{Q^3} \rightarrow \mathbb{Q^3}, (x, y, z) \mapsto (x, y, z)A \) ist nilpotent.

Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass \( \alpha \) nilpotent ist, kann zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden und geprüft, ob es von der Form \( x^n \) ist. Leider wird meine Rechnung sehr schnell unübersichtlich (Zahlen in der Größenordnung 10^6), sowohl mit Sarrus, als auch Laplace, gibt es hier einen Trick?

Comments

Warum nicht einfach potenzieren?$$\begin{aligned}A^3&=\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}\\&=162\cdot\begin{pmatrix}-5&10&15\\-1&2&3\\-1&2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-12&34&26\\-51&104&151\\30&-58&-92\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.\end{aligned}$$

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Uff, ich hab bei meiner ersten Rechnung beim Potenzieren wohl einen kleinen Fehler gemacht und den Ansatz danach nicht mehr versucht... Vielen Dank :)

Ein Zusatz zu der Aufgabe besteht darin, eine Basis B zu bestimmen, bzgl welcher die Koordinatenmatrix von \( \alpha \) Jordansche Normalform hat. Dafür muss ich aber das charakteristische bzw das Minimalpolynom berechnen, oder?

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Wenn die Matrix nilpotent ist, dann sind alle Eigenwerte gleich Null.

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Danke!

Dann muss ich ja nur noch die geometrische Vielfachheit zu \( \lambda = 0 \) bestimmen, um die JNF aufzustellen. (algebraische VFH ist 3, da A 3x3-Matrix)