nilpotenter Endomorphismus Φ: V --> V.

Question

kann mir jemand helfen

Es sei V ein n - dimensionaler ℂ-Vektorraum und Φ :V→V ein Endomorphismus mit Bild Φ⊆ Kern Φ.

Außerdem sei r = Rang Φ.

Zeige das Φ nilpotent ist und bestimmen sie das charakteristische Polynom von Φ.

Answer 1

Für alle v ∈ V gilt jedenfalls (Φ o Φ) (v) = 0 ;

denn   Φ (v)  ∈ Bild Φ

Und wegen    Bild Φ ⊆ Kern Φ also auch für jedes v 

  Φ (v)  ∈ Kern Φ   , also    Φ ( Φ) (v) ) = 0 ;

==>  Φ ^2 = 0, also Φ nilpotent.