Eigenwerte und Eigenvektoren (Unitär)

Question

Hallo Leute,

in die Matrizenthematik konnte ich mich mit Mühe einarbeiten aber nun Matrizen und die komplexe Seite davon machen mir zu schaffen. (falls möglich mit kleinen Erklärungen bzw. Stichworten)

In der Standardbasis x1, x2, x3 ist die Matrix M gegeben durch;

$$ \begin{pmatrix} 0 & i/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \\ -i/\sqrt{2} & 1 & 1 \\ i/\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

a) Die Matrix M soll auf Eigenwerte und Eigenvektoren überprüft werden

b) Der Operator X ist definiert durch;

$$ X(x_{i}) = x_{i} $$    i = 1, 2, 3

hierbei soll die Matrix von X bezüglich der Standardbasis berechnet und überprüft werden, ob diese unitär ist.

Ich bedanke mich im Voraus.

IceTeX

Answer 1

Nehmen wir mal an, daß der Fragesteller noch mitliest,

dann würde ich das Char.Polynom aufstellen

|A - λ id|=0

\(\small \left|\begin{array}{rrr}-\lambda&\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{-i}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}&-\lambda + 1&1\\\frac{i}{\sqrt{2}}&1&-\lambda + 1\\\end{array}\right|=0\)

und 3 zu 2,1 addieren

E(1,3, - ί / sqrt(2)) E(2,3,(λ-1))

\(\small \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + \frac{1}{2}&0&\frac{i}{2} \; \sqrt{2} \; \lambda - i \; \sqrt{2}\\\frac{i}{2} \; \sqrt{2} \; \lambda - i \; \sqrt{2}&0&-\lambda^{2} + 2 \; \lambda\\\frac{i}{2} \; \sqrt{2}&1&-\lambda + 1\\\end{array}\right)\)

===>

\( (-\lambda + \frac{1}{2}) (-\lambda^{2} + 2 \; \lambda) - (\frac{i}{2} \; \sqrt{2} \; \lambda - i \; \sqrt{2})( \frac{i}{2} \; \sqrt{2} \; \lambda - i \; \sqrt{2} ) =0\)

===> Eigenwerte

\(\left(\lambda - 2 \right) \; \left(\lambda - 1 \right) \; \left(\lambda + 1 \right)\)=0

Eigenwerte einsetzen

(A - λ id) x = 0

und Eigenvektoren bestimmen

z.B.

A:={{0, ί /sqrt(2),-ί /sqrt(2)},{-ί /sqrt(2),1,1},{ί /sqrt(2),1,1}}

in

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Comments

Danke dir für die hilfe

Answer 2

In der Standardbasis x1, x2, x3 ist die Matrix M gegeben durch;$$ \begin{pmatrix} 0 & i/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \\ -i/\sqrt{2} & 1 & 1 \\ i/\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix} $$a) Die Matrix M soll auf Eigenwerte und Eigenvektoren überprüft werden

Löse die Gleichung (bzw. das dahinter stehende Gleichungssystem)

$$ \begin{pmatrix} 0 & i/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \\ -i/\sqrt{2} & 1 & 1 \\ i/\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda x_1\\\lambda x_2 \\\lambda x_3 \end{pmatrix}$$.

Comments

Löse die Gleichung

Das ist leicht gesagt. Wie würde man hier vorgehen?

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Weißt du, wie Matrizenmultiplikation geht? Hier entsteht ein Gleichungssystem.

Schreibe es auf.

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Hier entsteht ein Gleichungssystem.

Das ist wohl wahr. Welcher Ansatz würde sich hier zwecks Findung der Lösung anbieten?

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Könntest du das mal vorführen?