Wie zeige ich, dass eine Vandermonde Matrix unitär ist?

Question

Aufgabe:

Wie zeige ich, dass diese Vandermonde-Matrix unitär ist?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei \( A \) die folgende Vandermonde-Matrix:
\( A=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & c_{1} & c_{1}^{2} & \ldots & c_{1}^{n-1} \\ 1 & c_{2} & c_{2}^{2} & \ldots & c_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & c_{n} & c_{n}^{2} & \ldots & c_{n}^{n-1} \end{array}\right) \)
wobei \( c_{k}=e^{\frac{2 \pi i k}{n}} \), für alle natürlichen Zahlen \( 1 \leq k \leq n \). Zeigen Sie, dass die Matrix \( A \) unitär ist.

Meine Ideen:

1. Wenn man zeigen könnte, dass entweder die Spalten oder Zeilenvektoren orthonormal bzgl. unitären Standardskalarprodukt sind, folgt dass A unitär ist

2. Man zeigt A = A* (A konjugiert & transformiert)

3. Man benutzt die Eigenschaften von Vandermonde-Matrizen

Hättet ihr noch eine weitere Idee? Wenn nicht, welche der Ideen scheint am vielversprechendsten zu sein und wie würdet ihr weiterfahren?

Answer 1

Hier ein Weg mit Brechstange per direkter Berechnung von \(AA^{\star}\).

Beobachtungen:

\(c_1 = e^{\frac{2\pi i}n} \Rightarrow c_k = e^{\frac{2\pi i}n\cdot k} = c_1^k\)

\(c_n = 1\)

\(\overline{c_k} = \left(c_k \right)^{-1} = c_{-k}\)

\(c_k,\; k=1,\ldots, n\) sind die Nullstellen des Polynoms

\(x^n - 1 = (x-1)\underbrace{(1+x+\cdots + x^{n-1})}_{p_{n-1}(x)}\)

Mit Blick auf \(p_{n-1}(x)\) gehört die Vandermonde-Matrix \(V=\sqrt n A\) zum Interpolationsproblem

\(V \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \color{blue}{n} \end{pmatrix}\)

Insbesondere ist mit \(c_k^0 = 1\) also

\(\sum_{l=1}^n c_k^{l-1} \stackrel{c_k^0 = c_k^n }{=} \sum_{l=1}^n c_k^{l} = 0 \quad (1)\)

für \(k=1,\ldots , n-1\)

Dann gilt aber auch für die konjugiert komplexen

\(\sum_{l=1}^n c_{-k}^{l} = 0 \quad (2)\)

für \(k=1,\ldots , n-1\)

Damit können wir \(AA^{\star} = \frac 1n VV^{\star}\) berechnen:

\((VV^{\star})_{kj}=\sum_{l=1}^n v_{kl}v_{lj}^{\star} = \sum_{l=1}^n v_{kl}\overline{v_{jl}} \)

\(= \sum_{l=1}^n c_k^{l-1}c_j^{-(l-1)}= \sum_{l=1}^n c_1^{(l-1)(k-j)}\)

\( k=j \Rightarrow (VV^{\star})_{kk} = n\)

\(k \neq j \Rightarrow k=j+s\) mit \(1\leq |s|\leq n-1 \Rightarrow\)

\((VV^{\star})_{kj} = \sum_{l=1}^n c_1^{(l-1)s} = c_1^{-s} \sum_{l=1}^n c_1^{ls}\)

\(= c_1^{-s} \sum_{l=1}^n c_s^{l} \stackrel{(1),(2)}{=}0\)

Also \(VV^{\star} = n I_{n\times n}\).

Daraus folgt die Behauptung.