Wie prüfe ich, ob die Matrix ((1,i),(-i,1)) unitär ist?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Matrix:

$$ \begin{pmatrix} 1& i \\ -i & 1 \end{pmatrix} $$

Laut meinen Lösungen ist sie nicht unitär....aber warum? Ich dachte wenn ich eine komplexe quadratische Matrix habe und ihre Zeilen und Spalten orthogonal zu einander sind wäre es es eine unitäre Matrix...warum hier nicht?

Liebe Grüße

Answer 1

Wie prüfe ich ob eine Matrix unitär ist?

Eine (invertierbare!) Matrix \(A\) heißt genau dann unitär, wenn

$$A^{-1}=\underbrace{A^*}_{\text{Adjungierte}}=\overline{A^T}$$

Du bildest also \(\overline{A^T}\) und multiplizierst das Ergebnis mit \(A\). Wenn \(E\) (die Einheitsmatrix) herauskommt (und Du richtig gerechnet hast), dann ist die Matrix unitär.

Es ist \(\overline{A^T}=\left(\begin{matrix}1&i\\-i&1\end{matrix}\right)\)

Bei der Multiplikation mit \(A\) (also \(\overline{A^T}\cdot A\) bzw. \(A\cdot \overline{A^T}\)) kommt nicht die Einheitsmatrix heraus und damit ist \(A\) nicht unitär.

Comments

Manchmal muss man einfach Wikipedia lesen...

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Manchmal muss man einfach Wikipedia lesen...

Wie ist das gemeint? Nur Wikipedia zu lesen reicht nicht! Außerdem muss man den Gesamtzusammenhang verstehen.

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Hmm, finde ich schon. Der Wikipedia-Artikel hierzu ist hervorragend. Ich habs gecheckt jetzt.

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Das ist ja auch nur eine Definition. Die viel wichtigere Frage ist: Hast Du auch die daraus erwachsenden Implikationen und Querbezüge "gecheckt"? Daraus kommt es in der linearen Algebra nämlich an.

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Ich verstehe das System dahiner, wie man z. B. die adjungierte Matrix bildet. Das multiplizieren  ist auch einfach, wenn man es nachschaut.

Man kommt auf

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Ich verstehe das System dahiner, wie man z. B. die adjungierte Matrix bildet.

Das meine ich nicht. Ich formuliere es anders: Wie viel des gesamten Wikipedia-Artikels hast Du verstanden? Das, was Du beschreibst, ist "nur Technik" und könnte man genauso gut in die Oberstufen"mathematik" verlagern.

Manchmal kann man mit einem tiefen Verständnis weitaus elegantere Lösungen zaubern als durch die Abarbeitung eines Algorithmus (ich erinnere mich da gerne an meine Prüfung in "Wahrscheinlichkeitstheorie II" zurück :)).

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Ich arbeite leider nach strikten Mustern. Ich versuche das Muster zu verstehen und ed anzuwenden. Ich oute mich als "rezeptverwöhnter Auswendiglerner" :D

Answer 2

Die komplexe quadratische Matrix \(U∈ℂ^{n\times n}\) heißt unitär, wenn das Produkt mit ihrer adjungierten Matrix \(U^H\) die EInheitsmatrix \(I\) ergibt.

Die Matrix ist also unitär, wenn gilt:$$U^HU=\begin{pmatrix} 1& -i \\ i & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& i \\ -i & 1 \end{pmatrix}=I$$

Comments

Was ist denn U^H?

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Die adjungierte Matrix

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Manchmal muss man einfach Wikipedia lesen...

Hast du?

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Ja, das habe ich

Answer 3

wie kommst du darauf, dass die Zeilen bzw. Spalten der Matrix orthogonal zueinander sind?

Beachte das Standardskalarprodukt im C^n! Das unterscheidet sich etwas vom R^n!