Wenn f injektiv ist, dann ist das Bild der Basis linear unabhängig.
Angenommen die Vektoren \(v_1,\dots,v_n\) sind linear unabhängig.
Sind die Vektoren \(f(v_1),\dots,f(v_n)\) nicht linear unabhängig, dann gibt es \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), so dass mindestens ein \(\lambda_i\neq 0\) ist und \(\sum_{i=1}^n\lambda_i f(v_i) = 0\) ist. Wegen der linearität von \(f\) ist dann auch \(f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\right) = 0\). Wegen der linearen Unabhängigkeit der \(v_i\) ist \(\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\neq 0\). Also ist \(f(v) = f(0)\) für ein \(v\neq 0\), im Widerspruch zur Injekltivität von \(f\).
