Hallo certi,
deine Überlegungen sind gut, man kann das einfacher hinschreiben:
Bild(f) = { \(\begin{pmatrix} x+y \\ -x + y \\ 0 \\ 2x-3y \end{pmatrix}\) | x,y ∈ ℝ }
= { x * \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\\2 \end{pmatrix}\) + y * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}\) | x,y ∈ ℝ }
Die Vektoren sind linear unabhängig, das sie keine Vielfachen voneinander sind und erzeugen Bild(f).
Bild(f) hat also zwei Basisvektoren → dim(Bild) = 2
Gruß Wolfgang