Beweis zur Dimension von der Verknüpfung von linearen Abbildungen.

Question

Aufgabe:

ich habe folgende Frage:

Wie kann ich die folgenden aussagen beweisen?

Wir haben einen Körper K und die endlich-dimensionalen Vektorräume X,Y, Z über K und f: X→Y und g: Y→Z. Und f und g sind linear. Nun zu zeigen:

dim Im(g ο f) ≤ min(dim Im(g), dim Im(f))

außerdem:

dim Ker(g ο f) ≥ dim Ker(f)

Ansatz:

Also (g ο f) müsste doch X→Z sein oder? Habe schon viel rumprobiert mit der Dimensionsformel:

dim Im(g ο f) = dim(U) - dim Ker(g ο f)

Aber bin nicht zum Ziel gekommen. Hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

Mir ist gerade bei meinem Ansatz aufgefallen. Ich meine natürlich dim(X) und nicht dim(U).

Answer 1

Hallo,

diese Aussagen folgen aus Mengen-Beziehungen:

1. \(Im (g \circ f) \sube Im(g)\)

2. \(Im(g \circ f) = Im(g')\), wobei \(g'\) die Einschränkung von g auf \(Im(f)\) bezeichnet.

3. \(Ker(f) \sube Ker(g \circ f)\)

Gruß Mathhilf