Ähnlichkeit von Matrizen zeigen

Question

Aufgabe:

Ähnlichkeit von Matrizen zeigen

Problem/Ansatz:

Wenn B eine 2x2 Matrix über C (komplex) ist mit B²=0, aber B!=0. Dann ist B zu \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) ähnlich.

Über die gleiche Jordan-Normalform darf ich nicht begründen, da das nicht im Skriptum steht. Was bleibt mir sonst noch für eine Möglichkeit übrig?

Answer 1

Die Matrix B kann man schreiben als \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \) mit 4 unbekannten Einträgen.

B² ist dann \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \).

Berechne in dieser Form B² und setze die entstehenden Elemente gleich 0. Gibt es noch eine Lösung außer a=b=c=d=0?