Seien A,B,C,D \(\in M_n(\mathbb{K})\) mit n > 1. Beweise oder Widerlege!
1.) Seien A,B ähnlich, dann sind auch A^n und B^n ähnlich zueinander für jedes n aus den natürlichen Zahlen
2.)sei A ähnlich zu B und C ähnlich zu D dann ist auch A+C ähnlich zu B+D.
3.) seien \(\lambda_1,\lambda_2.....,\lambda_n\) paarweise verschiedene Skalare in \(\mathbb{K}\) mit det(A-\(\lambda_i E_n\))=0. Beweise, dass A diagonalisierbar.
Mein Ansatz:
1.)A und B ähnlich bedeutet, dass deren Charakteristische Polynome gleich sind. (auch dass die geometrische Vielfachheit bez. \(\lambda\) gleich sind).. Intuitiv würde ich jetzt sagen, dass dann Behauptung 1 nicht stimmt, da man ja die Matrix hoch n rechnet und sich dann das Charakteristische Polynom verändert bei der Matrixmultiplikation.
2.) Ich weiss, dass àhnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist. Kann ich anhand von dem das herleiten oder gibt es einen anderen Weg?
3.) Finde keinen Ansatz dazu, hat mir jemand einen?