Grenzwert gebrochenrationale Funktion

Question

Wie bestimme ich den Grenzwert dieser Funktion? (Schritt für Schritt bitte)

(x²+1) / (x-1)

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welchen Grenzwert genau?

\( x \to - \infty \) oder \( x \to \infty \) oder \( x \uparrow 1\) oder \( x \downarrow  1\)

Ich denke mal, ihr braucht alle Grenzwerte oder?

Gruß

Answer 1

Klammere x aus:

x(x+1/x) / x*(1-1/x)

Dann steht da (x+1/x) / (1-1/x)

lim x -> unendlich = unendlich.

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Die Lösung ist 1, ich weiß aber leider nicht wie man auf die Zahl kommt

Answer 2

Grenzwert für welchen Wert von x ?

(x² + 1) / (x - 1)

Durch x kürzen

= (x + 1/x) / (1 - 1/x)

Hier kann man zumindest die Grenzwerte im unendlichen prima ablesen.

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x gegen unendlich

Answer 3

Wie lautet die genaue Aufgabe?

Hier 2 Fälle x ->0 und -->∞

Comments

Die Aufgabe lautet: Untersuchen sie die Funktion auf Grenzwerte als Lösung ist x=1 angegeben

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Hallo Grosserloewe,

wäre anstatt \( x \to 0 \) nicht \( x \to 1 \) von oben und auch von unten viel interessanter? Da die Funktion für \( x=0 \) definiert ist, gibt es keinen Grund da einen Grenzwert zu bestimmen.

Gruß

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Hallo Gast ih1766,

\( x=1 \) ist nur die Lösung auf die Frage, wo hat die Funktion eine Definitionslücke. Eine Lösung für die Frage nach Grenzwerten ist es eher nicht.

Gruß

Answer 4

Einmal eine Skizze

~plot~ (x^{2}+1)/(x-1) ; x + 1 ; [[ -10 | 10 | -10 | 10 ]] ~plot~

Die Grenzwerte gehen alle gegen ± ∞

Oder ist die  Asymptote gemeint

x + 1

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Ist nun x=1 richtig oder nicht ? :D

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Hallo Gast ih1766,

wie ich schon als Kommentar zu einer anderen Antwort schrieb. Auf welche Frage soll \( x=1 \) denn die Lösung sein?

Auf die Frage nach den Defnintionslücken der Funktion ist \( x = 1 \) die richtige Antwort.

Auf die Frage nach den Grenzwerten, ist sie es nicht. Es gibt aber 2 Grenzwerte an genau dieser Stelle ( \( x = 1 \) ) und die Grenzwerte für \( \infty \) und \( -\infty \).

Gruß

Answer 5

\( f(x)= \frac{x^2+1}{x-1} \qquad x \neq 1 \)

Definitionslücke der Funktion ist \( x = 1 \)

Limes von x gegen \( -\infty \)

\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x² +1 }{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x +\frac{1}{x} }{1-\frac{1}{x}}= \frac{-\infty -0} {1+0}= - \infty \]

Limes von x gegen \( \infty \)

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x² +1 }{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x +\frac{1}{x} }{1-\frac{1}{x}}= \frac{\infty +0} {1-0}= \infty \]

Limes von x von unten gegen \( 1\)

\[ \lim_{x \to 1-} \frac{x² +1 }{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{x +\frac{1}{x} }{1-\frac{1}{x}}= \frac{1+1} {-0}= - \infty \]

Limes von x von oben gegen \( 1\)

\[ \lim_{x \to 1+} \frac{x² +1 }{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{x +\frac{1}{x} }{1-\frac{1}{x}}= \frac{1+1} {+0}=  \infty \]

Gruß