gebrochenrationale Funktion faktorisieren

Question

Aufgabe:

Zerlegen Sie die Funktion in einen ganzrationalen Anteil yAsy (Asymptote) und einen echtgebrochenrationalen Anteil ygebr.

\( \frac{9x^3−9x^2−36x+36}{x^3−12x^2+41x−30} \)

Problem/Ansatz:

Nullstellen sowie Polstellen habe ich bereits errechnet und überprüft, doch beim gebrochenen anteil scheitere ich. Zuerst Teile ich den Zähler duch den Nenner und erhalte als Ergebnis die Asymptote, welche 9 ist.

Der Rest / Nenner ist dann der gebrochene Anteil. Und den Nenner als Polstellen hingeschrieben. So sieht das aus:

\( \frac{99x^2+405x-234}{(x-1)(x-6)(x-5)} \)

Nun soll laut Lösung der Zähler irgendwie auch Faktorisiert werden, damit man eine Polstelle kürzen kann und einen kleineren Bruch hat. Als Lösung wird mir

\( \frac{99x-306}{x^2-11x+30} \)

versprochen. Wie kommt man dorthin, bzw wo liegt mein Fehler. Vielen Dank für das Engagement.

Comments

https://www.wolframalpha.com/input?i=factorise+9x%5E3-9x%5E2-36x%2B36

Answer 1

(9·x^3 - 9·x^2 - 36·x + 36) / (x^3 - 12·x^2 + 41·x - 30)

Wenn du Nullstellen von Zähler und Nenner bestimmt hast, kannst du die faktorisierte Form notieren.

= (9·(x - 1)·(x + 2)·(x - 2)) / ((x - 1)·(x - 5)·(x - 6))

Dann kannst du hebbare Definitionslücken entfernen.

= (9·(x + 2)·(x - 2)) / ((x - 5)·(x - 6))

Jetzt kannst du Zähler und Nenner wieder ausmultiplizieren

= (9·x^2 - 36) / (x^2 - 11·x + 30)

und eine Polynomdivision machen.

= 9 + (99·x - 306)/(x^2 - 11·x + 30)

Answer 2

Dein Zähler (vom Ausgangsbruch) ist durch 9 teilbar und hat offensichtlich auch die Nullstelle x=1.

Er lässt sich damit als 9*(x-1)*(.....) schreiben.

Mit Polynomdivision oder genauem Hinsehen ist der Zähler

9*(x-1)*(x²-4).

Da der Faktor (x-1) auch im Nenner vorkommt, haben wir von Beginn an die vereinfachte Darstellung

 \( \frac{9(x^2-4)}{(x-6)(x-5)} = \frac{9x^2-36}{x^2-11x+30} \).

Erst jetzt lohnt die Polynomdivision.

Günstig ist dabei, den Zähler 9x²-36 als

9x²+0x-36 zu schreiben.