Steckbriefaufgabe , gebrochenrationale Funktion finden von 3 gegebenen Punkten

Question

Steckbriefaufgabe , gebrochenrationale Funktion finden zu 3 gegebenen Punkten

Problem/Ansatz:

Auffinden von zwei gebrochenrationalen Funktionen deren Graphen die y-Achse im Punkt T(0/4) und die x-Achse in den Punkten N1 (-2/0) N2 (2/0) schneiden.

Wer hilft bei der Lösung, welche Schritte zur Lösung sind notwendig.Danke schon mal.

Comments

Soll Punkt T(0/4) andeuten, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt?

Answer 1

Damit es die Nullstellen 2 und -2 gibt, muss der Zähler die Faktoren (x-2) und (x+2) enthalten.

Die gebrochenrationale Funktion hat also die Form

\( \frac{IrgendeinFaktor\cdot(x-2)(x+2))}{Nenner} \).

Da die Funktion gebrochenrational sein soll, muss der Nenner irgendeinem mindestens linearen Term enthalten. Ich nehme mal als Beispiel (x-10).

\( \frac{IrgendeinFaktor\cdot(x-2)(x+2))}{x-10} \) hat die geforderten Nullstellen, ist gebrochenrational, und hat an der Stelle 0 den Funktionswert \( \frac{IrgendeinFaktor\cdot(-4))}{-10} \), also \(0,4*IrgendeinFaktor\).

Da die Funktion an der Stelle 0 aber den Funktionswert 4 haben soll, muss \(IrgendeinFaktor=10\) gelten.

\( f(x)=\frac{10\cdot(x-2)(x+2))}{x-10} \) erfüllt also alle Bedingungen.

Comments

Falls der Einwand von Arsinoé4 berechtigt ist, wäre es hilfreich, wenn die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Dafür müsste es eine weitere (zur ersten symmetrische) Polstelle geben.

\( \frac{IrgendeinFaktor\cdot(x-2)(x+2))}{(x-10)(x+10)} \)

würde die Symmetrie erfüllen, aber der mit

IrgendeinFaktor

erzeugte Punkt (0|4) wäre ein Hochpunkt. Es müsste dann ein besseres Polstellenpaar her ...

Answer 2

Hallo,

hier hilft Probieren mit einem Funktionsplotter wie desmos.

\( f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-1} \)

Damit die Nullstellen bei ±2 liegen, muss im Zähler (x-2)(x+2) bzw. x²-4 stehen.

Damit T(0|4) ein Tiefpunkt ist, könnte zwischen 0 und 2 eine Polstelle liegen, ebenso zwischen -2 und 0.

Mit einem Faktor a>0.25 vor x² im Nenner bleiben die Bedingungen erhalten.

\(\boxed{ f_a(x)=\dfrac{x^{2}-4}{ax^{2}-1}} \)

Damit hast du nicht nur zwei, sondern beliebig viele Funktionen.

:-)

Answer 3

Eine Ganzrationale Funktion durch den Punkt (0 | 4) und den Nullstellen bei (±2 | 0) wäre

f(x) = 4 - x^2

Macht man daraus eine gebrochen Rationale Funktion könnten wir durch (1 + x^2) teilen. Damit würde der Funktionswert bei 0 und auch die Nullstellen erhalten bleiben

g(x) = (4 - x^2) / (1 + x^2)

Skizze

~plot~ (4-x^2)/(1+x^2) ~plot~

Answer 4

Auffinden von zwei gebrochenrationalen Funktionen deren Graphen die y-Achse im Punkt \(T(0|4)\) und die x-Achse in den Punkten \(N_1 (-2|0) \) und \(N_2 (2|0)\) schneiden.

\(f(x)=\frac{a(x+2)(x-2)}{x-P}=\frac{a(x^2-4)}{x-P}\)  mit \(P≠±2 \)

\(T(0|4)\):

\(f(0)=\frac{a(-4)}{-P}=\frac{4a}{P}\)

\(\frac{4a}{P}=4\)               \(a=P\)

\(f(x)=\frac{P(x^2-4)}{x-P}\)  mit  \(x≠P \)

Somit gibt eine Schar von  gebrochenrationalen Funktionen.

In der Zeichnung habe ich den Pol bei  \(P=-3 \) gewählt:

\(f(x)=\frac{(-3)\cdot (x^2-4)}{x+3}\)