Aussagen zur Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen beweisen

Question

Aufgabe:

Aussagen zur Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen beweisen

Problem/Ansatz:

Seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume, n = dim_K V und m = dim_KW.

Zeigen Sie:
(a) Sind A, A′ ∈ Mat(m × n, K) äquivalent, dann existieren Basen B, B′ in V und C, C′ in
W sowie eine lineare Abbildung f : V → W mit A = A_B,C^f und A′ = A_{B', C'}^f.
(b) Sind A, A′ ∈ Mat(n, K) ähnlich, dann existieren Basen B, B′ in V sowie eine lineare
Abbildung f : V → V mit A = A_B,B^f und A′ = A_B',B'^f.

Answer 1

Um mir Schreiberei zu ersparen, bezeichne ich mit B etc. jeweils die zugehörige Koordinatenabbildung. Also Wenn eine Basis \((b_1, \ldots b_n)\) auf V gegeben ist, dann bezeichne ich mit \(B:V \to K^n\) mit

$$\forall v \in V: \quad v=\sum_{i=1}^n(Bv)_ib_i$$

Wenn jetzt B und C Koordinatenabbildungen sind, dann gilt \(A=C\circ f \circ B^{-1}\), also \(f:=C^{-1} \circ A \circ B\). Wenn nun A und A' äquivalent sind, dann existieren reguläre Matrizen mit \(A'=SAT\). Es folgt:

$$A'=S \circ C \circ f \circ B^{-1}\circ T$$

Daraus lesen wir ab: \(C':=S \circ C\) und \(B'^{-1}=B^{-1} \circ T\), also \(B'=T^{-1} \circ B\).