Zeigen Sie, dass v+F(v) und v-F(v) Eigenvektoren von F sind.

Question

Aufgabe:

Sei F : V → V ein Endomorphismus eines R-Vektorraums V mit F ◦ F = Id_V .
(a) Sei v ∈ V \{0} kein Eigenvektor von F. Zeigen Sie, dass v+F(v) und v-F(v) Eigenvektoren von F sind.

(b) Zeigen Sie, dass F diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Leider hab ich dazu keinen Ansatz, weil dazu nichts gefunden hab, was man irgendwie mit dem Skript erschließen könnte. Es gibt nur einen Hinweis auf eine andere Aufgabe, aber da weiß ich erst recht nicht wie man das verknüpfen soll.

Benutzen Sie Ubung 10, Aufgabe 2c, um die moglichen Eigenwerte von F zu bestimmen.

Aufgabe: Ist n ∈ ℕ und λ ∈ K ein Eigenwert von F, so ist λⁿ ein Eigenwert von Fⁿ .
Lösung: Nach Voraussetzung ist λ ∈ K ein Eigenwert von F. Also gibt es einen dazugehörigen Eigenvektor v ∈ V \{0} mit F(v) = λv. Wir zeigen mit vollständiger Induktion Fⁿ(v) = λⁿv. In der Tat für n = 1 ist nichts zu zeigen. Angenommen F^n-1(v) =λ ^n-1v.
Dann gilt Fⁿ(v) = F^n-1(F(v)) = F^n-1(λv) = λF^n-1(v) =IH = λλ^n-1v = λⁿv. Also ist v ein Eigenvektor von F zum Eigenwert λⁿ.

Answer 1

a)   F( v+F(v)) = F(v) + F(F(v)) = F(v) + v   (wegen FoF=id )

                                                = v + F(v)

                                                = 1*( v + F(v) )  also Eigenvektor zum Eigenwert 1.

entsprechend F(v-F(v)) = ... = -v + F(v) = -1*(v-F(v) .

Und da v kein Eigenvektor von F ist, ist v-F(v) ≠ 0, also ist

v-F(v) Eigenvektor zum Eigenwert -1.