Wenn eine schiefsymmetrische Matrix invertierbar ist, dann hat diese keine reellen Eigenwerte.

Question

Aufgabe:

Wir haben n∈ℕ und A∈ℝ^nxn eine schiefsymmetrische Matrix. Nun soll ich zeigen, dass wenn A invertierbar ist, dann hat A keinen reellen Eigenwert.

Problem/Ansatz:

Also ich habe erstmal festgestellt, dass aus A invertierbar folgt, dass n gerade sein muss. Nur weiß ich nicht, wie ich nun weiter machen soll oder ob mir das überhaupt hilft.

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen. Danke

Comments

Vielleicht ließe sich wie folgt argumentieren: Wenn A invertierbar ist, dann sind alle Eigenwerte
von A² = A·A = -A^T·A = -(A^T·A) negativ. Daher kann A keine reellen Eigenwerte haben.

Answer 1

Leider sehe ich die Aufgabe erst jetzt. Hoffentlich ist es nicht zu spät.

Wie du geschrieben hast muss n gerade sein. Dann ist aber jede schiefsymmetrische Matrix kongruent zu einer Blockmatrix mit n/2 der folgenden Einträge:

0   1

-1  0

Da kongruente Matrizen gleiche Eigenwerte haben, das char. Polynom o.a. Matrix T^2+1 ist und das char. Polynom in seiner Gesamtheit dann (T^2+1)^(n/2) ist, folgt, dass eine schiefsymmertrische invertierbare Matrix keine reellen Eigenwerte hat.

MfG

EL