a) A invertierbar ==> Es gibt B = A^(-1) und es gilt B*A= E (Einheitsmatrix).
Wäre 0 ein Eigenwert, dann gibt es ein v∈K^n mit A*v=0*v = 0-Vektor
Aber A * v = 0 -Vektor
==> B * (A*v) = B*0 -Vektor = 0 -Vektor im Widerspruch zu
(B*A)*v = E*v = v ≠ 0-Vektor.
b) A nicht invertierbar ==> det(A)=0
==> Kern der Abb f: K^n → K^n mit f(x)=A*x
enthältnicht nur den Nullvektor
==> A hat Eigenwert 0.
c) A invertierbar und λ Eigenwert von A
==> Es gibt v≠0 mit A*v = λ*v
==> A^(-1) *A*v = A^(-1)* λ*v
==> E*v = λ* A^(-1)* v
wegen a) ist λ≠0, also existier 1/ λ
==> 1/ λ * E*v = 1/ λ *λ* A^(-1)* v
==> 1/ λ * v = A^(-1)* v.
Also 1/ λ Eigenwert von A^(-1) sogar mit dem gleichen
Eigenraum wie λ als Eigenwert von A.
