Zeigen Sie: Ist A invertierbar/ nicht invertierbar..

Question

Aufgabe:

Invertierbar/nicht invertierbar

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich habe das Thema mit der Inventierbarkeit noch nicht zu 100% verstanden und nun habe ich folgende Aufgabe vor mir liegen:

Text erkannt:

2
\( = \)
\begin{tabular}{l}
0 \\
5 \\
5 \\
\hline
\end{tabular}

Answer 1

a)   A invertierbar ==>   Es gibt B = A^(-1) und es gilt B*A= E (Einheitsmatrix).

Wäre 0 ein Eigenwert, dann gibt es ein v∈K^n mit A*v=0*v = 0-Vektor

Aber A * v = 0 -Vektor

==>    B * (A*v) = B*0 -Vektor = 0 -Vektor   im Widerspruch zu

(B*A)*v = E*v = v ≠ 0-Vektor.

b)  A nicht invertierbar ==>   det(A)=0

            ==>   Kern der Abb f: K^n → K^n mit f(x)=A*x
                          enthältnicht nur den Nullvektor

           ==>   A hat Eigenwert 0.

c) A invertierbar und λ Eigenwert von A

==>   Es gibt v≠0 mit  A*v = λ*v

             ==>    A^(-1) *A*v = A^(-1)*  λ*v

            ==>    E*v = λ* A^(-1)* v
wegen a) ist λ≠0, also existier 1/ λ

              ==> 1/ λ *   E*v = 1/ λ *λ* A^(-1)* v

                 ==> 1/ λ * v =  A^(-1)* v.

Also 1/ λ Eigenwert von A^(-1) sogar mit dem gleichen

Eigenraum wie   λ als Eigenwert von A.