Finden Sie alle reellen Zahlen a und b für die die matrix invertierbar ist

Question

Aufgabe \( 11.2 \) (4 Punkte). Finden Sie alle reellen Zahlen \( a, b \in \mathbb{R} \), für die die Matrix

0    3    a   1

2    b   0    0

1    1    0   2

1    0    0   1

invertierbar ist, und bestimmen Sie die inverse Matrix.

Also ich habe diese Aufgabe berechnet und komme auf a=-1 und b=0. Ich wüsste gerne, ob mein Ergebnis richtig ist, weil ich tatsächlich davon ausgehe, dass ich bestimmt irgendwo einen folge fehler habe o.ä.

LG

Answer 1

Determinante der Matrix ist \(a\cdot(b+2)\).

Es ist

        \(a\cdot(b+2)\neq 0\)

genau dann wenn

        \(a\neq 0 \wedge b\neq -2\)

ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix invertierbar.

Comments

Achso, verstehe ich das also richtig, dass man bei Matrizen, die Variablen beinhalten, die determinate erstellt und dann dann guckt, wann das Ergebnis ungleich 0 ist ?

Und bei Matrizen, die keine variable beinhalten, kann ich die inverse Matrix einfach berechnen?

Und eine Frage hätte ich noch:

Wenn ich für diese Matrix jetzt eine inverse Matrix aufschreiben soll, bleiben die Variablen ? oder soll ich zahlen einsetzen?

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Die inverse Matrix ist

        \(\begin{pmatrix}0&{{1}\over{b+2}}&-{{b}\over{b+2}}&{{2b}\over{b+2}}\\ 0&{{1}\over{b+2}}&{{2}\over{b+2}}&-{{4}\over{b+2}}\\ {{1}\over{a}}&-{{2}\over{a\left(b+2\right)}}&{{-b-6}\over{a\left(b+2\right)}}&{{b+10}\over{a\left(b+2\right)}}\\ 0&-{{1}\over{b+2}}&{{b}\over{b+2}}&{{2-b}\over{b+2}}\\ \end{pmatrix}\)

Diese Matrix existiert genau dann wenn

        \(a\neq 0 \wedge b\neq -2\)

ist.

dass man bei Matrizen, die Variablen beinhalten, die determinate erstellt und dann dann guckt, wann das Ergebnis ungleich 0 ist ?

Die Variablen haben keinen Enfluss auf die Wahl des Verfahrens gehabt. Ich habe die Determinante berechnet, weil ich den Teil "und bestimmen Sie die inverse Matrix." ignoriert habe.

Wenn ich für diese Matrix jetzt eine inverse Matrix aufschreiben soll, bleiben die Variablen ? oder soll ich zahlen einsetzen?

Einetzen nur dann, wenn der Wert der Variable eindeutig ist. Das ist er hier nicht, also nicht einsetzen.

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Danke vielmals!