Wie kann man allgemein beweisen, dass die Matrix A invertierbar ist und dazu eine allgemeine Inverse bestimmen?

Question

Aufgabe:

Die Matrix A ist eine quadratische Matrix vom Typ n und es gilt: A³ + A² + A + I = 0, wobei die Einheitsmatrix auch vom Typ n ist. Nun soll man zeigen, dass A invertierbar ist und die Inverse von A bestimmen.

Problem/Ansatz:

Mir fällt kein Beweis ein, mit dem ich allgemein zeigen könnte, dass A invertierbar ist. Als Bedingung weiß ich, dass A^-1 * A die Einheitsmatrix ergeben muss, wenn A invertierbar ist. Aber dafür bräuchte ich ja schon die Inverse von A... Meine Frage ist jetzt, wie kann man das allgemein beweisen, ohne spezifische Werte zu benutzen?

Answer 1

A^3 + A^2 + A + I = 0

Kannst du umformen zu

I = A * ( -I -A -A^2 )

Also ist -I -A -A^2 die Inverse zu A.