Aloha :)
Für das Produkt zweier Matrizen \(A\in\mathbb K^{\ell\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt \((AB)\in\mathbb K^{\ell\times n}\). Die Transponierte dieses Produktes ist \((AB)^T\in\mathbb K^{n\times \ell}\). Wir bestimmen die Komponente \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,\ell\):$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Produktmatrix richtig ist, gilt: \(\underline{\underline{(AB)^T=B^TA^T}}\)
Damit bestimmen wir nun \((G^T)^{-1}\). Da \(G\) invertierbar ist, gilt:$$\left.G^{-1}G=\mathbf 1\quad\right|\;\text{transponieren}$$$$\left.(G^{-1}G)^T=\mathbf 1^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{Ergebnis von oben verwenden}$$$$\left.G^T\cdot(G^{-1})^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{von links \((G^T)^{-1}\) multiplizieren}$$$$\left.(G^T)^{-1}\cdot G^T\cdot (G^{-1})^T=(G^T)^{-1}\quad\right|\;\text{vereinfachen durch \((G^T)^{-1}\cdot G^T=\mathbf1\)}$$$$\left.(G^{-1})^T=(G^T)^{-1}\quad\right.$$
Ob eine invertierbare Matrix zuerst invertiert und dann transponiert wird, oder ob sie umgekehrt zuerst transponiert und dann invertiert wird, führt zum gleichen Ergebnis.
