Zeigen, dass eine Matrix invertierbar ist

Question

Aufgabe:

Es sei \( f(X)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} X^{i} \in \mathbb{R}[X] \) ein reelles Polynom mit \( a_{0} \neq 0 . \) Weiter sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine relle \( n \times n \) Matrix mit
\( f(A)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot A^{i}=\underline{0} \in \mathbb{R}^{n \times n} \)

Zeigen Sie, dass \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) invertierbar ist.

Answer 1

In der Gleichung

        \(\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot A^{i}=\underline{0}\)

\(a_0A^0\) subtrahieren, dann mit \(-\frac{1}{a_0}\) multiplizieren und dann auf der linken Seite \(A\) ausklammern.