Monopolist,Gewinnfunktion,Hessematrix: Wie muss der Preis p1 festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?

Question

Aufgabe:
Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen p1 und p2 an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen
q1=D1(p1,p2)=200−5p1+4p2

q2=D2(p1,p2)=181+4p1−4p2

bestimmt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen 4
GE und 1GE pro Stück.

a. Wie muss der Preis p1 festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?

b. Wie muss der Preis p2 festgesetzt werden, so dass maximaler Gewinn erzielt wird?

c. Wie lautet das Element links oben in der Hessematrix der Gewinnfunktion?

d. Welchen Wert nimmt die Determinante der Hessematrix der Gewinnfunktion an?

e.1. Die Gewinnfunktion ist konkav.
e.2. Die Gewinnfunktion ist konvex.
e.3. Die Gewinnfunktion ist weder konvex noch konkav.

f. Welche Menge q1lässt sich im Gewinnmaximum absetzen?

g. Welche Menge q2 lässt sich im Gewinnmaximum absetzen?

h. Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden?

i. Welche Kosten fallen im Gewinnmaximum an?

Ansatz:

Habe bei a) und b) zuerst versucht von der Gleichung (200-5*p1+4*p2)*(p1-4)+(181+4*p1-4*p2)*(p2-1) jeweils die partielle Ableitung nach p1 und p2 zu bilden. Wenn ich dann die Herstellungskosten (4,1) einsetze bekomme ich für p1=184 und für p2=193 heraus. Jedoch habe ich für Aufgabe h) Wolfram benutzt und die obige Gleichung eingesetzt und bin auf einen maximalen Gewinn von 37.860,3125 gekommen mit p1=192,5 und p2=213,625. Also irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen.

Frage zu c): Muss ich für die Hessematrix einfach D1(p1,p2) + D2(p1,p2) verwenden?

Wie man unschwer erkennen kann bin ich ziemlich überfordert mit dieser Aufgabe und würde mich über jede Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Ich nutzte hier einfach mal p und q statt p1 und p2.

G(p, q) = (200 - 5·p + 4·q)·(p - 4) + (181 + 4·p - 4·q)·(q - 1)
G(p, q) = - 5·p^2 + 8·p·q + 216·p - 4·q^2 + 169·q - 981

Gradient

G'(p, q) = [- 10·p + 8·q + 216, 8·p - 8·q + 169]

Hesse-Matrix

G''(p, q) = [-10, 8; 8, -8]

Das hast du vermutlich alles nicht gemacht oder?

Comments

Ich habe G' richtig abgeleitet, wenn ich das vergleiche. Wenn ich dann 4 bzw. 1 einsetze komme ich auf 184 bzw. 193, das sollten ja dann die Preise sein, um den maximalen Gewinn zu erzielen oder? Ich verstehe nur nicht, wieso ich dann bei Wolfram andere Werte bekomme, wenn ich mir den maximalen Gewinn ausrechne. Der Wert 37.860,3125 GE sollte prinzipiell ja stimmen, wenn mir das Maximum angegeben wird?

Danke für die Hessematrix. Demnach sollte die Determinante 16 sein, was heißt, dass die Gewinnfunktion konkav ist.