Differentialgleichung: Anfangswertproblem mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten

Question

Aufgabe:

Gegeben das folgende Anfangswertproblem

$$\frac{dy}{dt}+2y = f(t),   y(0)=1$$

Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen

1. Die homogene Lösung des Anfangswertproblems

$$\frac{dy}{dt}+2y = 0,   y(0)=1$$

$$y(t) = ?$$

2. Die Lösung des Anfangswertproblems für $$f(t)=t^2+\frac{t^2}{2}$$

$$\frac{dy}{dt}+2y = t^2+\frac{t^2}{2}, y(0)=1$$

$$y(t) = ?$$

3. Die Lösung des Anfangswertproblems für $$f(t)=cos(2t)$$

$$ \frac{dy}{dt}+2y = cos(2t), y(0)=1 $$

$$ y(t) = ? $$

Problem/Ansatz:

Bei der 1. Aufgabe habe ich $$e^{-2t}$$ als die homogene Lösung gekriegt, aber es ist scheinbar falsch.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wo genau ich was falsch gemacht habe. Und weil ich die erste nicht wirklich hingekriegt habe weiß ich auch nicht wie ich die 2. und 3. Aufgabe machen soll.

Answer 1

Hallo,

habe die Aufgabe mal für f(t)=cos(2t) gerechnet:

Answer 2

Bei der 1. Aufgabe habe ich \(e^{-2t}\)

Da ist keine Konstante drin, die du variieren könntest.

\(\begin{aligned} \frac{\text{d}y}{\text{d}t}+2y & =0 &  & |-2y\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t} & =-2y &  & |:y\\ \frac{1}{y}\frac{\text{d}y}{\text{d}t} & =-2 &  & |\cdot\text{d}t\\ \frac{1}{y}\text{d}y & =-2\text{d}t &  & |\int\\ \int\frac{1}{y}\text{d}y & =\int-2\text{d}t &  & \leftarrow \text{Missbrauch des Gleichheitszeichens}\\ \ln y & =-2t+c &  & |\exp\\ y & =e^{-2t+c}\\ & =c\cdot e^{-2t} \end{aligned}\)

In der Integralrechnung kann auf eine explizite Angabe der Integrationskonstante oft verzichtet werden. Bei bestimmten Integralen fällt sie zum Beispiel letztendlich weg. Bei Differentialgleichungen sieht das dagegen anders aus.