AWP Bernoulli-Gleichung lösen durch Variation der Konstanten -- Problem

Question

Aufgabe:

Lösung der Differentialgleichung 2y' = x/y-y/x in impliziter Form, Anfangsbedingung y(sqrt(3))=1

Problem/Ansatz:

Habe das erkannt als Bernoulli-Gleichung mit y^k, k = (-1). Entsprechend substituiert (z = y^(1-k)), sodass die lin. inh. Dgl. 1. Ordn. herauskommt:

z'+(1/x)z = x

nach dem Muster

y'+a(x)y = b(x).

Soweit sollte das laut Symbolab-Rechner auch stimmen. Die rechnen davon dann weiter mit Integrationskonstante, ein Verfahren, mit dem ich außer zur Herstellung exakter Dgl. aus dem Unterricht nicht bekannt bin, daher wollte ich es per Variation der Konstanten lösen.

Da habe ich dann zunächst einmal die homogene Lsg. für z'+(1/x)z = 0:

z_h = c*e^(-A(x)), mit A(x) der Stammfunktion von a(x) = (1/x). Diese Stammfunktion ist ln(x), daher also: z_h = c*e^(-ln(x)) = c*(1/x).

z_p berechne ich nach der Formel z_p = e^(-A(x)*\(\int\)(b(x)*e^(A(x))dx = (1/x)*\( \int \) (x*e^(ln(x))dx=(1/x)*\( \int \) (x^2)dx = (1/x)*(1/3)*x^3=(x^3)/(3x).

Die allgemeine Lösung ist dann laut der Formel in meinen Unterlagen z = (c+\( \int \) (b(x)e^(A(x)))dx)*e^(-A(x)) = (c+x^3/3)*(1/x) = c/x+x^3/(3x).

Wenn ich jetzt sqrt(z) = y ausrechne, dann kommt heraus sqrt(c/x+x^3/(3x)).

Wenn ich jetzt gemäß Anfangswert x = sqrt(3) setze und y = 1, dann kommt heraus:

sqrt(c/sqrt(3)+sqrt(3)^3/(3sqrt(3))) = 1 <==> sqrt(c/sqrt(3)+3/3) = sqrt(c/sqrt(3)+1) = 1 <==> (+/-)(c/sqrt(3)+1) = 1

<==> (+/-)c/sqrt(3) = 0 <==> c = 0

Und das stimmt nicht (Lösung laut Symbolab müsste sein: y = sqrt((x^3+c)/3x)). Ich weiß nicht, warum. Ich vermute, es hat etwas mit den Integrationskonstanten zu tun. Die wurden bei der VO leider immer etwas schludrig behandelt. Das ist auch das, um das sich die Lösung im Wesentlichen unterscheidet (das ist c/3x statt c/x wie bei mir). Die Formeln, die ich genannt habe, sind aus meinen Lernunterlagen. Bin über alle Hinweise sehr dankbar!

Answer 1

Hallo,

jetzt hast Du Dir so viel Mühe mit dem Aufschreiben gemacht.

Einfacher wäre es gewesen, die Probe zu machen. Dein Ergebnis ist \(y(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x\). Eine Probe (Einsetzen in die Differentialgleichung) zeigt, dass das richtig ist.

Auch die Lösung aus Symbolab stimmt mit Deiner Überein. Dabei ist zu beachten, dass "c" ja für eine beliebige Konstante steht, also ist c gleichwertig zu c/3 u. ä.

Gruß Mathhilf

Answer 2

Hallo,

Bernoulli:

DGL umgeformt zu:

y' +y/(2x) = x/2  *y^(-1)

--->n= -1

allgemein:

z=y/(y^(n)= y^2

y=z^((1)/(1-n))= z^(1/2)

y'=1/(1-n) z^((n)/(1-n)) *z' = 1/2 *z^(-1/2) z'

-------->eingesetzt in die DGL:

z'+ z/x=x

Lösung via Variation der Konstanten:

z=x^2/3 +C/x

Resubstitution :z=y^2

y^2 =x^2/3 +C/x

allgemeine Lösung: y=±√(x^2/3 +C/x)

AWB: y(√3)=1 ->negative Lösung entfällt

y=√(x^2/3 +C/x)

1=√(1 +C/√3) ->C=0

--->Lösung:

y=√(x^2/3 )=|x| /√3

sofern die Lösungsmethode nicht vorgeschrieben ist, kann diese DGL auch mittels Substitution gelöst werden

z=y/x

y=z*x

y'=z+z'x

usw.