Aufgabe:
Es soll eine Substanz A in Wasser gelöst werden mit einer vorgegebenen Volumenkonzentration csoll . Ein Gefäß mit Volumen V ist zum Zeitpunkt 0 mit Wasser vollständig gefüllt. Die reine Substanz A fließt mit dem Volumenstrom a zu. Dabei erfolgt im Gefäß stets eine augenblickliche und völlige Durchmischung. Um einen ̈Uberlauf des Gefäßes zu vermeiden, fließt die Lösung “A- in-Wasser” mit dem gleichen Volumenstrom a ab. Es ist zu erwarten, dass im Laufe der Zeit die Volumenkonzentration c(t) der Substanz A im Gefäß erhöht wird. Der Mischungsvorgang wird gestoppt, sobald die Konzentration csoll erreicht ist.
i) Stellen Sie eine Bilanzgleichung für das Volumen S(t) der Substanz A, die sich zum Zeit- punkt t im Gefäß befindet.
ii) Machen Sie daraus ein Anfangswertsproblem (DGL und Anfangsvorgabe) und lösen Sie es.
iii) Zu welchem Zeitpunkt t1 wird die Sollkonzentration cSoll erreicht?
Bemerkung: Die Volumenkonzentration c einer Substanz B in einem Lösungsmittel L ist gleich VB/VL , wobei VB das Volumen der gelösten Substanz und VL das Volumen des Lösungsmittels sind. Für unsere Aufgabe gilt also c(t) = S(t)/V . Der Volumenstrom ist definiert als durchfließendes Volumen pro Zeitspanne. In einer Zeitspanne ∆t fließt von der Substanz A das Volumen a∆t zu.
Problem/Ansatz:
Ansatz für i) beziehungsweise meine Lösung für i):
i) Um eine Bilanzgleichung für das Volumen S(t) der Substanz A im Gefäß aufzustellen, betrachten wir die Zuflussrate und die Abflussrate von Substanz A. Die Zuflussrate ist einfach a, da Substanz A mit dem Volumenstrom a zufließt. Die Abflussrate ist a * c(t), da die Lösung “A-in-Wasser” mit dem gleichen Volumenstrom a abfließt und die Konzentration von Substanz A in der Lösung c(t) ist. Die Bilanzgleichung lautet also: dS(t)/dt = a - a * c(t).
Aufgabe ii) und iii) verstehe ich leider nicht weswegen ich mich an euch widme.
