Zeigen Sie, dass für jeden Vektor v ∈ V mit v \notin \operatorname{span} \mathcal{U} der Vektor

Question

Text erkannt:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) und \( \mathcal{U}=\left\{u^{1}, \ldots, u^{n}\right\} \subset V \) eine Menge orthonormaler Vektoren aus \( V \).
Zeigen Sie, dass für jeden Vektor \( v \in V \) mit \( v \notin \operatorname{span} \mathcal{U} \) der Vektor
\( w:=v-\left\langle v, u^{1}\right\rangle u^{1}-\cdots-\left\langle v, u^{n}\right\rangle u^{n} \)
orthogonal zu jedem Vektor aus \( \mathcal{U} \) ist und \( \operatorname{span}(\mathcal{U} \cup\{v\})=\operatorname{span}(\mathcal{U} \cup\{w\}) \) gilt.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie man die Orthogonalität überprüft, ist kein Problem. Ich weiß einfach nicht, wo ich anfangen soll und wie ich zeige, dass das mit dem Spann gilt. Dürfen u und v nicht einfach gleich/vielfache voneinander sein?

Wäre lieb, wenn mir jemand dabei helfen könnte. Vielen Dank bereits im Voraus.

Comments

Wie ist denn span(U) für eine Teilmenge U von V definiert?

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Der Durchschnitt aller Untervektorräume von V, die U enthalten. Oder nicht?

Answer 1

Es ist also

$$w=v-\sum_{i=1}^ns_iu^i \quad (1)$$

Mit irgendwelchen Skalaren - die genaue Form wird nicht benötigt.

Wir nehmen jetzt Deine Definition

$$Span(U \cup \{v\}):= \bigcap\{W \sub V \mid U \cup\{v\} \sub W, W \text{ ist Unterrraum}\}$$

Wir zeigen:

$$\{W \sub V \mid U \cup\{v\} \sub W, W \text{ ist Ur}\}=\{W \sub V \mid U \cup\{w\} \sub W, W \text{ ist Ur}\}$$

Daraus folgt dann, dass auch die Aufspanne gleich sind.

Sei also W ein Unterraum aus der linken Menge, also ist \(\{v,u^1, \ldots,u^n\} \sub W\). Weil W ein Unterraum ist, liegt auch jede Linearkombination aus diesen Elementen in W. w ist aber wegen (1) eine solche Linearkombination und liegt daher in W. Also haben wir \( \{w,u^1, \ldots,u^n\} \sub W\) und damit liegt W in der rechten Menge.

Die umgekehrte Teilmengenbeziehung beweist man analog.