Aloha :)
Wir haben in \(B\) und \C\) jeweils vier Vektoren:$$\vec b_1=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b_2=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b_3=\begin{pmatrix}7\\-1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b_4=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\vec c_1=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec c_2=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}\quad;\quad\vec c_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\3\end{pmatrix}\quad;\quad\vec c_4=\begin{pmatrix}-6\\3\\-5\end{pmatrix}$$
zu a) Wir sollen "geeignete" Vektoren auswählen, um eine Basis für \(B\) und \(C\) zu bestimmen.
Bei \(B\) fällt sofort auf, dass \(\vec b_3=4\cdot\vec b_2-\vec b_4\) gilt. Daher ist \(\vec b_3\) überflüssig, denn er kann durch \(\vec b_2\) und \(\vec b_4\) ausgedrückt werden. Von den verbliebenen drei Vektoren können wir keinen mehr durch die anderen ausdrücken. Das kannst du mit der Determinante oder dem Spatprodukt überprüfen. Beide geben das von den 3 Vektoren aufgespannte Volumen an und liefern einen Wert \(\ne0\). Damit haben wir:
$$\operatorname{Basis}(B)=\left(\,\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\right)$$
Bei \(C\) müssen wir etwas genauer hinsehen. Es ist \(\vec c_3=\vec c_2-2\cdot\vec c_1\). Also können wir \(\vec c_3\) streichen. Zusätzlich ist \(\vec c_4=-2\cdot\vec c_3+5\cdot\vec c_1\), also können wir auch \(\vec c_4\) streichen. Die beiden verbliebenen Vektoren \(\vec c_1\) und \(\vec c_2\) sind nicht linear abhängig, da sie nicht durch einen von Null verschiedenen Faktor ineinander überführt werden können.$$\operatorname{Basis}(C)=\left(\,\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}\,\right)$$
zu b) Die Dimension eine Vektorraums gleich der Anzahl der Vektoren in der Basis. Damit hat \(B\) die Dimension \(3\) und spannt damit den gesamten \(\mathbb Q^3\) auf.
\(C\) hat die Dimension \(2\), also spannt \(C\) nicht den \(\mathbb Q^3\) auf. Uns fehlt z.B. eine Möglichkeit, die \(z\)-Koordinate unabhängig von den anderen Koordinaten ändern zu können. Daher könnten wir \(C\) um den Vektor \((0;0;1)^T\) erweitern und hätten dann eine Basis des \(\mathbb Q^3\).
