Linearkombination. Gegeben ist eine Menge \(M\) von Vektoren. Eine Linearkombination von \(M\) bekommt man indem man endlich viele Vektoren aus \(M\) mit Skalaren multipliziert und die Ergebnisse dann addiert.
Beispiel.
\(\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix}\)
ist eine Linearkombination der Menge
\(M = \left\{\left(\begin{smallmatrix}1\\1\\-2\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}5\\-3\\4\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}-6\\2\\-2\end{smallmatrix}\right)\right\}\).
Spann/lineare Hülle. Gegeben ist eine Menge \(N\) von Vektoren. Die lineare Hülle \(\langle N\rangle\) von \(N\) ist die Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus \(N\) schreiben kann.
Beispiel. Es ist
\(\begin{pmatrix}30\\-16\\18\end{pmatrix}\in \langle M\rangle\)
weil
\(\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}30\\-16\\18\end{pmatrix}\)
ist. Dagegen ist
\(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \notin \langle M\rangle \)
weil die Gleichung
\(x\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)
keine Lösung hat.
Die lineare Hülle ist ein Vektorraum.
Erzeugendensystem. Gegeben ist ein Vektorraum \(V\) und eine Teilmenge \(T\subseteq V\) . \(T\) ist ein Erzeugendensystem von \(V\) wenn \(\langle T \rangle = V\) ist.
Ein Erzeugendensystem ist nicht unbedingt ein Vektorraum. Kann aber natürlich sein, weil jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem von sich selbst ist.
Lineare Unabhängigkeit. Gegeben ist eine Menge \(T\) von Vektoren. \(T\) ist linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur auf eine einzige Art als Linearkombination von Vektoren aus \(T\) dargestellt werden kann.
Beispiel. \(M\) ist nicht linear unabhängig weil sowohl
\(0\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
als auch
\(1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}-6\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
ist.
Basis. Gegeben ist ein Vektorraum \(V\) und eine Teilmenge \(T\subseteq V\). \(T\) ist eine Basis von \(V\) wenn \(T\) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist und \(T\) linear unabhängig ist.
Eine Basis kann kein Vektorraum sein, weil der Nullvektor in keiner Basis sein kann.
