Ist es ein Erzeugendensystem vom span und was ist die Basis vom span?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge $$\mathcal{E} \subseteq \mathbb{R}_{ \leq 4}[x],$$

$$\mathcal{E} :=\left\{x^{4}+x^{2}+x, x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\}$$

Zeig, dass \( \left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\} \subset \mathcal{E} \) ein Erzeugendensystem von \( span (\mathcal{E}) \) ist.

Bestimme eine Basis von \( span(\mathcal{E}) \) und gib die Dimension von \( span(\mathcal{E}) \) an.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen, wie man diese beiden Aufgaben bearbeiten würde? Ich will keine Lösungen, sondern Ansätze oder vieleicht ein Beispiel.

Answer 1

$$\mathcal{E} :=\left\{x^{4}+x^{2}+x, x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\}$$

Zeig, dass \( \left\{x^{4}+x^{3}-1, x^{3}-x, x^{2}+1\right\} \subset \mathcal{E} \) ein Erzeugendensystem von \( span (\mathcal{E}) \) ist.

Um zu zeigen, dass das ein Erzeugendensystem ist, musst du nur zeigen, dass jedes der in der 1. Menge gegebenen Polynome sich als Linearkombination der in der 2. Menge darstellen lässt.

Für das 2., 3. und 4. ist es ja klar und für das erste musst du schauen, ob es a,b, c gibt mit

$$ x^{4}+x^{2}+x = a* (x^{4}+x^{3}-1) + b*(x^{3}-x) + c*( x^{2}+1) $$

und eine Basis bilden diese drei, falls sie lin unabhängig sind.