Was ist der Unterschied eines Span, Erzeugendensystems und einer Linearkombination?

Question

Aufgabe:

Was ist der Unterschied eines Span, Erzeugendensystems und einer Linearkombination?

Problem/Ansatz:

Hey!

Wie schon in der Frage steht, tue ich mich schwer den Unterschied zwischen diesen drei Begriffen einen Unterschied fesstzustellen. Könnte mich jemand aufklären was genau die Unterschiede sind?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Linearkombinationen sind einfach Summen von Vektoren mit

einem Faktor vor jedem Summanden, etwa sowas wie

2*v + 5*u   oder  -2*v + u - 0,5w  wenn v,u,w Vektoren sind.

Der Span von gegebenen Vektoren ist die Menge

aller Linearkombinationen, die man aus diesen bilden kann.

Und die Vektoren, mit denen man so einen Span

bildet heißen dann

Erzeugendensystem für diesen Span.

Answer 2

Hallo

Span enthält eine Menge von Vektoren, alle Vektoren, die man daraus linear kombinieren kann gehören zum Span.

Wenn man nur linear unabhängige Vektoren im span hat kann man die als Basis des Unterraums nehmen, oder man nimmt die Menge der Lin. unabhängig. aus dem Span als Basis.

Erzeugendensystem  des zugehörigen Unterraums sind die linear unabhängigen Vektoren des  Span auch,weil seine Vektoren alledarin liegenden erzeugen können. Das Erzeugendensystem ist deshalb auch eine Basis des UR.

Linearkombination muss man verstehen, bevor man über Span redet. die Summme  von Vektoren   , die man mit reellen Zahlen, bzw. Zahlen aus dem zugehörigen Körper multipliziert heisst linearkombination. Wenn du das allerdings noch nicht weisst ist der Rest unverständlich.

Gruß lul