Zeigen Sie, dass E^{-} ein Erzeugendensystem von Span(E) ist.

Question

Mein Ansatz:

Definiert habe ich mir:

1) Span: Ist die Menge aller möglichen linear Kombinationen der Matrizen mit den Skalaren.
2) Erzeugendensystem: Sei E* eine Teilmenge vom Teilraum E. E* Ist ein EZS von E, falls jedes Element in E durch mind, eine linear Kombination d. Elemente von E* erzeugt werden können, dass heisst spanE* = E.

Eine andere Idee wäre, ganz oben in den LGS statt die Parameter a,b,c... zubenutzen, die LGS mit den Matrizen von SpanE gleich zu setzen um zu überprüfen ob sie sich aus diesen 3 Matrizen linear kombinieren lassen. Wäre das so richtig?

Und wie bestimme ich Span(E) überhaupt?

Answer 1

Ich beginne mit b)

Rechnung: Bild

Ansatz wie du. Positionen vergleichen zeigt

gelb, dass c = 1 sein muss.

blau, dass b = 1 sein muss.

Nun noch rot : a = 1 passt.

Damit sind die Erzeugendenvektoren von span(E) alle Linearkombinationen von Vektoren aus E^{-} und es lassen sich alle Vektoren aus span( E) auch als Linearkombinationen von Vektoren aus E^{-} darstellen.  

a) Bild zeigt auch, dass die Vektoren in E lin. abh. sind. 

c) eigentlich müsste nun E^{-} eine Basis von span(E) sein. Dimension ist dann also 3. 

Answer 2

bei a)In der gegebenen Reihenfolge kannst du die 4. Matrix als

Lin.komb. der ersten 3 darstellen:

  -1* (...) +(-1)*(....) + 1*(...) = (.....)

Also lin. abh.

b) Und wie bestimme ich Span(E) überhaupt?

einfach alle möglichen Linearkombinationen betrachten.

Wenn die Elemente von E etwa m1  m2  m3   m4  heißen, sind

Span(E)  alle  X aus IR ^3,2 , die man so schreiben kann mit abcd aus IR

X = a*m1 + b*m2 + c*m3 + d*m4

wegen m3 = m4 + m2 + m1 kannst du das einsetzen und hast

X = a*m1 + b*m2 + c*(m4 + m2 + m1 ) + d*m4

  = (a+c)*m1 + (bc)*m2 + (c+d)*m4

also kannst du das X auch als Lin.komb. von m1, m2, m4 schreiben,

und damit liegt es im Span von E_quer.   Also ist

Span(E) ⊆ Span( E_quer) .   Und damit E_quer ein Erz.syst.

für Span(E).

für c) wäre zu prüfen, ob die 3 Elemente von E_quer lin. unabh. sind.

Dem ist wohl so, also ist E_quer eine Basis für Span(E) und

damit ist dim = 3.