Erzeugendensystem von span(M). M = {x^3 -x, x^3+2, x+2}

Question

Gegeben sei die Menge \( \mathcal{M} \subseteq \mathbb{R}_{\leq 3}[x] \)
$$ \mathcal{M}=\left\{x^{3}-x, x^{3}+2, x+2\right\} $$
a) Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass \( span(\mathcal{M} ) \) ein
Teilraum des Vektorraums \( \mathbb{R}_{\leq 3}[x] \) ist.
b) Beweisen sie, dass die Vektoren in \( \mathcal{M} \) linear abhängig sind.
c) Zeigen Sie, dass \( \left\{x^{3}-x, x^{3}+2\right\} \subset \mathcal{M} \) ein Erzeugendensystem von \( span(\mathcal{M} ) \) ist.
d) Bestimmen sie eine Basis von \( span(\mathcal{M} ) \) und geben sie die Dimension von \( span(\mathcal{M} ) \) an.

Problem:

Langsam gehts bergauf mit den Analysis Aufgaben, die werd ich zunächst selber bearbeiten und vielleicht später noch reinstellen wenn ich fragen habe. Aber in der Linearen Algebra mangelt es noch deftig. Weiß leider gar nicht wie ich an diese sache rangehe. NZSF und gauß ist mittlerweile kein Problem doch Begriffe wie Kern,Basis und Bild sind mir leider immer noch ein Rätsel. Deswegen die Frage ob ihr mir vielleicht ein Ansatz geben könnt und ich mich dran versuche und meine fortschritte dann hier präsentiere, will euer feedback hören. (:

Comments

a) Da keine Exponenten grösser als 3 vorkommen, ist eine Linearkomb. der gegebenen Polynome immer noch in R_≤3 [x]

b) Zeige, dass 

ap(x) + bq(x) + cr(x) = 0 eine nichttriviale Lösung hat. Am besten setzt du c=1. Dann hast du mit 

cr(x) = -ap(x) - bq(x) bereits den Beweis für die Teilaufgabe c).

(p(x),q(x),r(x) die gegebenen Polynome.

Summanden mit gleichen Koeffizienten ergeben ein lin. Gleichungssystem.

Answer 1

Bei d) kannst du als Basis {p(x), q(x)} angeben. Da p und q lin unabh. sind. Die Dim. von Span(M) ist dann 2.

Begründung

a(x^3 - x) + b(x^3 +2) = 0

ax^3 - ax + bx^3 + 2b = 0

(a+b)x^3 - ax + 2b = 0x^3 + 0x + 0

a+b=0

a=0

b=0

==> p(x) und q(x) sind lin. unabh. qed.

Comments

Danke dir vielmals Lu! Ich schreib das mal auf und Versuchs dir zu schicken. Haste vielleicht eine Email addresse?

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Hey Lu, ich versteh nicht ganz wie du b) und c) gelöst hast. Könntest du mir vielleicht noch nen kleinen Tipp geben wie du das gemacht hast?

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b)

a(x³ - x) + b(x³ +2) + c(x+2) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0

Potenzweise

ax^3 + bx^3 = 0

-ax + cx =0

2b + 2c = 0

x rauswerfen

a+b = 0

-a + c = 0

2b + 2c = 0

Wähle c = 1

==> b = -1 und a = 1

Kontrolle

 

(x³ - x) - (x³ +2) + (x+2) = 0

c)

(x+2) = (x^3 + 2) - (x^3 -x)

D.h. mit den ersten beiden 'Polynomen' kann man das dritte Element des Erzeugendensystems darstellen und man braucht das 3. Element des Erz.systems gar nicht.

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Wieso ist die Dimension 2? Also wie komme ich darauf?

und Wieso kann ich von a+b=0, sagen das a=0 und b=0. eigentlich würde doch a=b rauskommen.? Bzw. wie komme ich überhaupt Auf a+b=0

wenn ich bei der Zeile davor x wegnehme dann habe ich: (a+b)-a+ 2b = 3b

???

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und Wieso kann ich von a+b=0, sagen das a=0 und b=0. eigentlich würde doch a=b rauskommen.? Bzw. wie komme ich überhaupt Auf a+b=0

Das liegt an der inzwischen eingefärbten Zeile darüber, der man 3 Gleichungen entnehmen kann.

Wieso ist die Dimension 2? Also wie komme ich darauf?

Kommentar zur Frage, zeigt, dass die 3 gebebenen Funktionen lin. anh. sind. Daher Dimension kleiner als 3.

Wegen d) weiss man, dass 2 von ihnen lin. unabh. sind. Also Dim ≥ 2. 

Zusammen folgt : Dimension ist 2.