Es ist gleichbedeutend die Äquivalenz der Negationen zeigen,also
k∈⟨U⟩ <=> k∈U oder U∪{k} ist lin. abhängig
Zuerst "<==" Wenn k∈U, dann ist k als Linearkombination der
Elemente von U darstellbar mit dem Faktor 1 bei k und 0 bei den
anderen Elementen von U, also k∈⟨U⟩
"==>" Sei k∈⟨U⟩ .
1. Fall k∈U , dann gilt k∈U oder U∪{k} ist lin. abhängig
2. Fall k∉U. Dann gibt es für k eine Linearkombination der
Elemente von U in der Art \( k=\sum\limits_{i=1}^n a_iu_i\) mit \( a_i \in K , u_i \in U \).
==> \( k-\sum\limits_{i=1}^n a_iu_i = 0 \)
Das ist eine Darstellung des 0_vektors mit den Elementen von U∪{k}
mit mindestens einem Koeffizienten (nämlich 1 bei k ) , der nicht 0 ist.
Also U∪{k} lin. abh.
