Äquivalenz Spann und linear unabhängige Vereinigung

Question

Hallo, ich haben einen K-VR gegeben und U={u₁ ,u₂ ,…,u_n} soll eine lin.unabhängige Teilmenge des Vekorraums sein.

Wie kann man die Äquivalenz von:

k∉⟨U⟩ und

k∉U und U∪{k} ist lin. unabhängig

zeigen, wenn k beliebig aus dem VR stammen soll?

Answer 1

Es ist gleichbedeutend die Äquivalenz der Negationen zeigen,also

k∈⟨U⟩ <=>  k∈U oder   U∪{k} ist lin. abhängig

Zuerst "<=="   Wenn k∈U, dann ist k als Linearkombination der

Elemente von U darstellbar mit dem Faktor 1 bei k und 0 bei den

anderen Elementen von U, also k∈⟨U⟩

"==>"  Sei k∈⟨U⟩ .

1. Fall   k∈U , dann gilt   k∈U oder U∪{k} ist lin. abhängig

2. Fall   k∉U. Dann gibt es für k eine Linearkombination der

 Elemente von U in der Art \( k=\sum\limits_{i=1}^n a_iu_i\) mit \( a_i \in K , u_i \in U \).

       ==>    \( k-\sum\limits_{i=1}^n a_iu_i  = 0 \)

Das ist eine Darstellung des 0_vektors mit den Elementen von U∪{k}

 mit mindestens einem Koeffizienten (nämlich 1 bei k ) , der nicht 0 ist.

      Also U∪{k} lin. abh.