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Sei \( \alpha \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \) und betrachten Sie die Matrizen
\( A_{1}=\left[\begin{array}{ccccc} \alpha & & & & 0 \\ & \alpha & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \alpha & \\ 0 & & & & \alpha \end{array}\right] \text { und } \quad A_{2}=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & \alpha & & & 0 \\ & 0 & \alpha & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & \alpha \\ 0 & & & & 0 \end{array}\right] \)
sowie die durch sie auf dem Vektorraum \( \mathbb{C}^{n} \) definierten linearen Abbildungen \( F_{1}(x)=A_{1} x \) und \( F_{2}(x)=A_{2} x \). Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Es existieren unendlich viele \( F_{1} \)-invariante Fahnen \( \left(U_{i}\right)_{i=0, \ldots, n} \).
(b) Es existiert nur genau eine \( F_{2} \)-invariante Fahne \( \left(U_{i}\right)_{i=0, \ldots, n} \). Konstruieren Sie zum Beweis explizit die gesuchte \( F_{2} \)-invariante Fahne und gehen Sie dazu wie folgt vor:
Zeigen Sie, dass \( U_{1}=\operatorname{span}\left\{e_{1}\right\} \) gelten muss.
Erläutern Sie, warum \( U_{2}=\operatorname{span}\left\{e_{1}, y\right\} \) für einen Vektor \( y \in \mathbb{C}^{n} \) gilt. Bestimmen Sie die Form von \( y \) genauer, indem Sie die Vektoren \( y^{(1)}=A_{2} y, y^{(2)}=A_{2} y^{(1)}, y^{(3)}= \) \( A_{2} y^{(2)} \) etc. betrachten. Berücksichtigen Sie dabei die \( F_{2} \)-Invarianz von \( U_{2} \) und die Bedingung \( \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 \).
Schließen Sie aus Ihren Überlegungen zu \( U_{2} \) in (ii) auf die Form der \( F_{2} \)-invarianten Unterräume \( U_{3}, U_{4}, \ldots, U_{n} \).
Problem:
Hallo an alle,
Ich bin neu hier, da ich total überfordert mit dieser Aufgabe bin. Ich versuche schon seit Tagen sie zu lösen und im Internet habe ich dazu auch nichts gefunden. Deshalb hab ich mich jetzt schweren Herzens hier angemeldet in der Hoffnung jemand hat dafür eine Lösung für mich.
Vielen Dank für eine Hilfe im Voraus.
LG Wurst
