Beweisen ohne direkten beweis wie?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:. gilt:

(i) Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein offenes Intervall. Zeigen Sie, dass für \( f, g \in \mathcal{C}^{\infty}(I) \)
\( \begin{array}{l} (f g)^{\prime \prime}=f^{\prime \prime} g+2 f^{\prime} g^{\prime}+f g^{\prime \prime} \text { und } \\ (f g)^{\prime \prime \prime}=f^{\prime \prime \prime} g+3 f^{\prime \prime} g^{\prime}+3 f^{\prime} g^{\prime \prime}+f g^{\prime \prime \prime} \end{array} \)
Finden Sie (ohne Beweis) eine allgemeine Formel für \( (f g)^{(m)} \) mit \( m \in \mathbb{N} \).
(ii) Bestimmen Sie für \( f \in C^{2}(\mathbb{R}) \) die 2. Ableitung von \( g:=\cos f \).
(iii) Erinnerung: Eine Funktion \( f \) heißt gerade, wenn \( f(-x)=f(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \) gilt, und \( f \) heißt ungerade, falls \( f(-x)=-f(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \) gilt. Wir betrachten eine differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Zeigen Sie die beiden Implikationen
\( (4 \mathrm{P} \).
\( \begin{array}{l} f \text { gerade } \Longrightarrow f^{\prime} \text { ungerade, } \\ f \text { ungerade } \Longrightarrow f^{\prime} \text { gerade. } \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte bei den Aufgaben helfen ich komme gar nicht weiter

Answer 1

Es ist

\((fg)' = 1\cdot f'g+1\cdot fg'\)

\((fg)''=1\cdot f''g+2\cdot f'g' + 1\cdot fg''\).

\((fg)'''=1\cdot f'''g+3\cdot f''g + 3\cdot fg''+1\cdot fg'''\),

wie du mit der Produktregel für Ableitungen leicht zeigen kannst.

Betrachte die konstanten Zahlenfaktoren

\(1\; 1\)

\(1\; 2\; 1\)

\(1\; 3\; 3\; 1\)

und denke dabei an Pascal ;-)

Kommen dir diese Zahlen nicht irgendwie bekannt vor?