Sei \(n=\dim(V)\). Aus \(v\in V \backslash \ker(f)\) folgt
\(f\neq 0\) und der Dimensionssatz für lineare Abbildungen ergibt
\(dim(\ker(f))=n-1\).
Ist daher \(b_1,\cdots,b_{n-1}\) eine Basis von \(\ker(f)\), so gilt, da \(v\notin \ker(f)\):
\(\{b_1,\cdots,b_{n-1}, v\}\) ist eine Menge von \(n\) linear unabhängigen Vektoren
und daher eine Basis von \(V\), also
\(V=(Kb_1\oplus \cdots \oplus Kb_{n-1}) \oplus Kv=\ker(f)\oplus span(v)\)