kern bzw. span einer matrix bestimmen

Question

Ich habe die Matrix 
(1 -1 1 0) (0 0 0 0) (0 0 0 0) (1 -1 -1 0)
und daraus sollte man den kern berechnen und als lösung kam
span={ (1 1 0 0), (1 0 1 0), (0 0 0 1) }
ich weiß nicht wie man hier auf die lösung kommt. wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte. danke schonmal im voraus

Answer 1

Der Kern einer Matrix besteht aus allen Elementen,  die von der Abbildung auf den nullvektor abbilden. 

Also :

A*x=0

Jetzt setz das doch mal ein für ein x1 x2 x3 x4.

Dann musst du nur noch ein Gleichungssystem auflösen.  Der Kern besteht dann aus linear kombiniationen der unabhängigen Lösungen die du berechnet hast.(deswegen Span). 

Comments

wenn ich dieses gleichungssystem auflöse kommt das hier raus

-x1+x2+x3=0 => x1=x2+x3

x1-x2-x3=0 => x2=x1-x3

aber wie kommt man dann auf den span. das verwirrt mich etwas. 

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Du hast dich bei dem Gleichungssystem wohl verschaut. Du hast:
1 -1 1 0 | 0
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
1 -1 -1 0 | 0

Die mittleren Gleichungen können wir raus lassen:
1 -1 1 0 |0
1 -1 -1 0 |0

Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab:
1 -1 1 0 |0
0 0 -2 0 | 0

1 -1 1 0 |0
0 0 1 0 |0

Du hast die Lösung anscheinend nicht richtig abgetippt oder die Matrix:
span={ (1 1 0 0), (1 0 1 0), (0 0 0 1) }

Wir sehen aus meiner Gleichung, dass x3= 0 sein muss, also ist der rote Vektor nicht im span.(Setzen wir den Vektor in die erste Matrixzeile,so erhalten wir den Eintrag 2 und das ist ungleich 0 )

Als machen wir mal trotzdem an dem Beispiel der Matrix weiter:
1 -1 1 0 |0
0 0 1 0 |0

x3= 0
x4 ist beliebig
In der ersten Zeile haben wir dann:
x1 =x2

Also, setzen wir x1 = 1. Dann folgt x2= 1.
Jetzt können wir verschiedene linear unabhängige Lösungen enthalten,indem wir unsere beliebige Variable einmal =0 und einmal = 1 setzen:

a* ( 1 1 0 0) und b* ( 1 1 0 1),wobei man den zweiten Vektor auch als b* (0 0 0 1) schreiben kann.
Damit haben wir span( (1 1 0 0) ( 0 0 0 1) )

Hast du eventuell Probleme damit, was der span bedeutet?
Der span sind alle Vektoren,die durch die angegeben Vektoren aufgeSPANnt werden. Also alle linearkombinationen von (1 1 0 0 ) und (0 0 0 1)

Ich hoffe mal ich habe nichts falsch gemacht. Fehlerhinweise sind immer willkommen. Genauso wie weiter Nachfragen :)

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ok danke das hat mir sehr geholfen

ich hatte ein vorzeichenfehler in der matrix

Das war eigentlich die Matrix

-1 1 1 0 l0

0 0 0 0 l0

0 0 0 0 l0

1 -1 -1 0 l0

Also wenn ich die matrix wie du es gemacht hast addiere(Zeile 1 +2)

-1 1 1 0 l0

1 -1 -1 0 l0

dann bleibt doch nur das hier übrig

-1 1 1 0 l0

0 0 0 0 l0

wie bestimme ich denn den span hiervon

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Du schaust jetzt einfach, welche Vektoren auf die 0 abbilden.

Wir haben 1 Gleichung, aber 4 Variablen.

Eine der Variablen ist beliebig wählbar.  Auch eine zweite Variable können wir so wählen wie wir wollen,da das LGS überbestimmt ist.

Also einmal:

x4= 0

Dann wählen wir x3= 0

Jetzt folgt daraus,dass x1= x2 sein muss.

Damit haben wir:

(1 1 0 0)

Jetzt noch x4= 1 unter den selben Bedingungen, dann haben wir eine weitere Linear unabhängige Lösung:

(1 1 0 1) , wie gesagt können wir auch (0 0 0 1) nehmen.

Setzen wir jetzt mal x3= 1, und x2= 0 dann muss x1= x3 sein. Wir erhalten:

(1 0 1 0)

Für x1=0 erhalten wir   ==> x2 = -x3 ==> ( 0 -1 1 0) ist Lösung. Das können wir darstellen durch (1 0 1 0) - (1 1 0 0 ), also ist diese Lösung nicht linear unabhängig.

Damit setzt sich der span aus den Vektoren zusammen,die du oben bereits in der Lösung hast.

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super herzlichen dank für deine hilfe