Zeigen Sie: Es existiert x ∈ V mit V = span { x, F (x), ... , Fn-1 (x) }.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K -Vektorraum mit dim V = n < 8 . Sei F ∈ End(V) mit n
verschiedenen Eigenwerten.
Zeigen Sie: Es existiert x ∈ V mit V = span { x, F (x), . . . , F^n-1 (x) }.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Answer 1

Ich hatte leider einen Fehler in der Antwort, die korrigierte Version kommt gleich :D

Comments

Hallo nochmal,

ich hoffe diesmal stimmt meine Antwort.

Zuerst einmal seinen \(b_1,...,b_n\) Eigenvektoren zu den n verschiedenen Eigenwerten \(\lambda_1,...,\lambda_n\). Wir setzten jetzt \(x:=b_1+...+b_n\).

Das Ziel ist es jetzt zu zeigen, dass \(x,F(x),...,F^{n-1}(x)\) linear unabhängig sind (Warum reicht das?).

Dann betrachten wir die Gleichung $$ \alpha_0x+\alpha_1F(x)+...+\alpha_{n-1}F^{n-1}(x)=0 $$ (Was muss für die Lösungen \((\alpha_0,...,\alpha_{n-1})\) gelten, damit \(x,F(x),...,F^{n-1}(x)\) linear unabhängig sind?)

Überlege dir dazu, wie \(x,F(x),...,F^{n-1}(x)\) aussehen. Durch Ausklammern kann man die Gleichung auf die Form $$b_1(\alpha_0+\alpha_1\lambda_1+\alpha_2\lambda_1^2+...+\alpha_{n-1}\lambda_1^{n-1})+...+b_n(\alpha_0+\alpha_1\lambda_n+...+\alpha_{n-1}\lambda_n^{n-1})=0$$ bringen.

Da \(b_1,...,b_n\) linear unabhängig sind (Warum?) müssen alle Koeffizienten in dieser Gleichung gleich 0 sein. Das heißt aber gerade, dass die \(\lambda_1,...,\lambda_n\) alle Lösungen (d.h. Nullstellen) des Polynoms $$\alpha_0+\alpha_1y+\alpha_2y^2+...+\alpha_{n-1}y^{n-1}$$ sind. Warum folgt daraus die benötigte Aussage über die \(\alpha_0,...,\alpha_n\)?

Falls du zu den Details noch Fragen hast helfe ich auch gerne weiter aber zum Verständnis ist es sicherlich gut diese alleine auszufüllen.

LG Dojima