Zeigen dass zwei Hüllen den gleichen Span haben

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und seien v1, . . . , vn ∈ V .

Sei λ ∈ K, 1 ≤ α ≤ n und sei (v1, . . . , λvα, . . . , vn) das Tupel, in welchem λvα an
der Stelle von vα steht. Zeigen Sie:

⟨v1, . . . , vn⟩K=⟨v1, . . . , λvα, . . . , vn⟩K

und wenn (v1, . . . , vn) linear unabhängig sind, dann auch (v1, . . . , λvα, . . . , vn).

Ich weiß nicht wie ich das Zeigen soll. "⟨v1, . . . , vn⟩K=⟨v1, . . . , λvα, . . . , vn⟩K" Der einzige unterschied an beiden Mengen ist nur ein Vektor und dieser ist nur ein Vielfaches von sich selbst. Das zeigt ja dann auch dass beide Mengen linear unabhängig sind, da der Vektor immer noch der selbe ist nur verlängert.

Ich stehe auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich das am besten zeigen kann, kann mir da jemand helfen?

Grüße

Answer 1

Du musst dich da schon auf die Definition stützen. Die ist ja vermutlich:

v1, . . . , vn lin. unabh.

<=>   Eine Linearkomb. des Nullvektors ist nur möglich, wenn alle Koeffizienten 0 sind,

also  x1*v1+ x2*v2+ …..xn*vn = 0 ==>   x1=x2=….=xn=0 .

Wenn das für v1, . . . , vn gilt und du willst es

für v1, . . . , λvα, . . . , vn begründen, dann musst du ja

x1*v1+…+  xα*(λvα)+ …..+xn*vn = 0 betrachten und wegen der

lin. Unabh. von v1, . . . , vn hast du dann

x1=…=xα*λ=….=xn=0 .und weil λ≠0 ist, also alle x_i=0.

Für die Gleichheit der Hüllen zeigst du wie üblich:

Sei w aus ⟨v1, . . . , vn⟩K

dann gibt es eine Linearkomb w = x1*v1+ …..xn*vn

und wenn du den Faktor bei vα durch xα/λ ersetzt

(Das geht wegen λ≠0.) hats du eine Linearkombination aus

⟨v1, . . . , λvα, . . . , vn⟩K.

Umgekehrt entsprechend mit xα*λ.