Reihen auf Konvergenz untersuchen. Summenzeichen n^2/k^3 _(k=1 bis n)

Question

Aufgabe:

Untersuche, ob \( (a_k)_{k\in\mathbb{N} } \) mit den unten angegebenen reellen Zahlen \( a_k \) konvergent ist. Falls ja, dann bestimme den Grenzwert.

\( \text{(a) }a_k :=\sum \limits_{n=1}^{k} \frac{n^2}{k^3} \\\text{(b) }a_k:=\sum \limits_{n=1}^{k}\frac{(-1)^n *n}{k} \)

Ich komme jedoch nicht weiter und weiss nicht wo ich anfangen muss. Kann jemand vielleicht mir einen Ansatz geben?

Answer 1

Bei b)kannst du mal konkret versuchen, für k=10 und für k=20 die Summe von Hand auszurechnen.

Aber bevor du dich zu früh freust, versuche es mit k=5 und k=15.

Bei a) stelle dir einen Würfel der Kantenlänge k vor, der mit Einheitswürfeln teilweise aufgefüllt werde soll.

In der obersten Schicht liegt nur 1 Einheitswürfel, er steht auf 2*2 Würfeln in der 2. Schicht, diese liegen wiederum über den 3*3 Würfeln der dritten Schicht usw.

Nur die unterste Schicht des großen Würfels ist mit n*n Würfeln voll besetzt.

Es entsteht eine Art Pyramide.