Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: 1 / √( n(n+1) )

Question

Ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \)

Meine Lösung ist wie folgt... ich gehe aber davon aus das ist falsch, denn die Reihe sollte doch eigentlich konvergieren?

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \geq \sum \limits_{n=7}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \rightarrow \text{ divergent }\)

Answer 1

deine Lösung ist einwandfrei :)

Comments

sehr gut und kannst du s mir bitte erklären? das ist nämlich nicht wirklich meine... habs einfach von jemandem abgeschrieben vor paar Wochen und verstehe den 2. schritt nicht wie kommt man darauf?

$$ \frac { 1 }{ \sqrt { 2n^2 } } $$

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Man hat zuerst vermutet, dass die Reihe divergiert. Deshalb möchte man den Term nach unten abschätzen, um eine div. Minorante zu finden. Um den Bruch kleiner zu machen,muss man den Nenner vergrößern. Da die Wurzelfunktion eine monoton wachsende Funktion ist reicht es n(n+1) zu vergrößern. Also z.B so hier:

$$ n(n+1)=n^2+n<=n^2+n^2=2n^2 $$

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ganz normal minorantenkriterium also?

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Ja, mehr ist es nicht.

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danke sehr                                                 .

Answer 2

ja das richtig. du kannst es aber auch anders schreiben:

$$\frac { 1 }{ \sqrt { n(n+1) }  } \quad \quad ist\quad größer\quad als\quad \frac { 1 }{ \sqrt { (n+1)(n+1) }  } \quad =\quad \frac { 1 }{ n+1 } $$

Die Reihendarstellung ist :

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n + 1 }} = \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 }+\frac { 1 }{ 5 }....$$

und die divergente harmonische Reihe sieht so aus:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n }} = \frac { 1 }{ 1 } +\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 }....$$

Fast genauso bis auf die 1 vorn. Also kannst du auch $$\frac { 1 }{ n+1 } $$ als Minorante benutzen.

das wichtigste vergessen (unendlich := divergenz)

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{\sqrt { n(n+1) }}} \geq \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { 1 }{ n+1 }}= \infty  $$